¿Por qué los geómetras algebraicos del siglo XIX pensaban en m-Spec como el conjunto de puntos de una variedad afín asociada al mientras que, a mediados del siglo XX, la gente empezó a pensar que Spec era más apropiado como el "conjunto de puntos".
¿Cuáles son las ventajas del enfoque Spec? ¿Teoremas específicos?
La razón básica en mi mente para usar Spec es porque hace que la categoría de esquemas afines sea equivalente a la categoría de anillos conmutativos . Esto significa que si te confundes con lo que sucede geométricamente (que lo harás), puedes volver a trabajar con el álgebra. Y si tienes algunos resultados impresionantes en álgebra conmutativa, se convierten automáticamente en resultados en geometría.
Hay otra razón por la que el Spec es más natural. En primer lugar, tengo que convencerte de que cualquier tipo de geometría debe hacerse en LRS la categoría de espacios con anillos locales. Un espacio de anillos locales es un espacio topológico con un haz de anillos ("el haz de funciones (admisibles) sobre el espacio") tal que los tallos son anillos locales. ¿Por qué los tallos deben ser anillos locales? Porque aunque se generalice (o especialice) la noción de función, se quiere tener la noción de función que desaparece en un punto, y esas funciones que desaparecen en un punto deben ser un ideal muy especial (léase: único máximo) en el tallo. Alternativamente, los valores de las funciones en los puntos deberían ser elementos de campos; si el valor es un elemento de algún otro tipo de anillo, entonces no estás realmente ante un punto.
Supongamos que usted cree que la geometría debe hacerse en LRS . Entonces hay un functor muy natural LRS→Anillo dado por (X,O X )→O X (X). Resulta que este functor tiene un adjunto: nuestro héroe Spec. Para cualquier espacio localmente anillado X y cualquier anillo A, tenemos Hom <b>LRS </b> (X,Spec(A))=Hom <b>Anillo </b> (A,O X (X)) ... puede parecer un poco raro porque no estás acostumbrado a que los funtores contravariantes sean contiguos. Esta es otra razón por la que los espacios de la forma Spec(A) (en lugar de mSpec(A)) son muy especiales.
Ejercicio: ¿y si sólo trabajaras en RS ¿la categoría de los espacios anillados? ¿Cuál sería su colección especial de espacios? Pista: es muy aburrida.
Editar: Como no parece haber mucho interés en mi ejercicio, me limitaré a publicar la solución. El adjunto al functor RS → Anillo que lleva un espacio anillado a secciones globales de la gavilla de estructura es el functor que lleva un anillo al espacio topológico de un punto, con gavilla de estructura igual al anillo.
Hace poco se habló de esto (y de otras cosas) en el seminario de blogs secretos: http://sbseminar.wordpress.com/2009/08/06/algebraic-geometry-without-prime-ideals/
Para empezar vale la pena señalar que en el caso de los anillos de Jacobson (y más generalmente de los esquemas de Jacobson) ( http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobson_ring por ejemplo, tiene una definición) que el espectro de puntos máximos es equivalente al espectro completo.
Sin embargo, de forma más general, esto no es así y trabajar con puntos no cerrados permite una mayor flexibilidad al utilizar argumentos basados en puntos genéricos, por ejemplo. Otro ejemplo es la técnica común de reducir los argumentos a enunciados locales; en general, los anillos locales no pueden ser de Jacobson (en otras palabras, no se debe considerar un anillo local no artiniano como un simple punto cerrado).
Un ejemplo de lo que puede fallar en el espectro de puntos cerrados es el siguiente http://math.berkeley.edu/~ogus/Math%20_256A--08/bigval.pdf donde se construye un esquema cuasi-afín sin punto cerrado.
La razón por la que $\operatorname{Spec} A$ es una noción importante porque resuelve el siguiente problema para un anillo conmutativo $A$ :
Encuentre un anillo local $\mathcal O$ junto con un morfismo de localización $A \to \mathcal O$ tal que cualquier otro morfismo de localización $A \to B$ a un anillo local $B$ como un morfismo local sobre $A \to \mathcal O$ es decir, se busca una especie de localización universal de $A$ .
Dicho así, este problema no tiene solución al menos mientras no se esté dispuesto a dejar el mundo de los anillos en la categoría de conjuntos. Sin embargo, tiene solución en la siguiente situación más general:
Hay un topos $X$ dotado de un objeto de anillo local $\mathcal O$ y un morfismo de localización $A \to \mathcal O$ tal que para cualquier otro topos $Y$ junto con un objeto de anillo local $B$ y un morfismo de localización $A \to B$ existe un par de un morfismo geométrico $f\colon Y \to X$ y un morfismo $f^* \mathcal O \to B$ de anillos locales, que es único hasta un isomorfismo natural único, tal que $A \to B$ viene dada por la composición de $f^* \mathcal O \to B$ y $A \to f^* \mathcal O$ .
De hecho, la solución a este problema es el topos $X$ de gavillas en $\operatorname{Spec} A$ junto con la gavilla de estructura $\mathcal O_X$ como objeto de anillo local. Ahora bien, si se sustituye $\operatorname{Spec} A$ por el maxiespectro, el topos de gavillas localmente anillado que se obtiene no resolverá el problema de localización universal en general.
Esto significa que la definición habitual de $\operatorname{Spec} A$ con ideales primos es a correcta (siempre que se trabaje en lógica clásica con el axioma de elección) pero no significa que sea la única definición correcta: Se puede, por ejemplo, sustituir $\operatorname{Spec}$ por cualquier otro espacio topológico o, más generalmente, por cualquier otro sitio tal que el topos de la gavilla sobre él sigue siendo equivalente a $X$ .
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