Si hay un número de diez dígitos (como un número de teléfono de 10 dígitos de EE.UU.) como el 7177425231, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden reorganizar los dígitos? Entiendo cómo se podría hacer si sólo se pudieran utilizar los dígitos del 0 al 9 una vez en el número de diez dígitos, pero como en este ejemplo faltan algunos dígitos del 0 al 9, y algunos dígitos se repiten (como el 7), no estoy seguro de cómo se podría hacer.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El lugares para el $7$ pueden ser elegidos en $\dbinom{10}{3}$ formas. Para cada dicha elección, las ubicaciones de los $2$ pueden ser elegidos en $\dbinom{7}{2}$ formas. Una vez hecho esto, las ubicaciones de los $1$ pueden ser elegidos en $\dbinom{5}{2}$ formas. Los monotonales pueden entonces organizarse en $3!$ formas. Multiplicar.
No hay nada especial en el orden en que se hizo. Podríamos decir que la ubicación de los $3$ puede ser cualquiera de $10$ lugares, y luego la ubicación del $4$ puede ser cualquiera de $9$ y, a continuación, la ubicación del $5$ cualquiera de $8$ . A continuación, las ubicaciones de los $1$ pueden ser elegidos en $\dbinom{7}{2}$ formas, y las ubicaciones de los $2$ 's en $\dbinom{5}{2}$ formas. El $7$ 's ahora debe ir a los lugares vacíos.
De otra manera: Pinta los números repetidos para que se distingan. Hay $10!$ formas de organizar la nueva versión de los dígitos. Ahora despinta el $7$ 's. Siempre $3!$ de los viejos arreglos pintados se derrumban en uno. Así que tenemos que dividir por $3!$ . Despintar el $1$ 's, y el $2$ 's. Eso divide el número por otro $2!2!$ .
