Series de Laurent, Cauchy, orden de los polos

Question

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Desde $f(z)$ no es diferenciable en $0$ , singularidad aislada en $z = 0$ . Expandiendo la serie de Laurent y observando el primer término, obtuve un polo de orden $3$ (¿hay una forma más adecuada de conseguirlo?).

Para $a_{-1}$ Tengo $-8\pi{i}/3$ . Ahora no sé cómo hacer la última pregunta. ¿Utilizo un círculo de radio $3$ para C? ¿No me daría eso sólo $a_{-1}$ ¿regresar? La ayuda sería muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Tienes toda una función $f$ con una serie de Taylor bien conocida. Para obtener la serie de Laurent de $\dfrac{f(z)}{z^k}$ sobre $0$ , sólo hay que tomar la serie de Taylor de $f$ y dividirlo por $z^k$ No hay mejor manera. Aquí tenemos

$$\frac{\sin (2z)}{z^4} = \frac{1}{z^4}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(2z)^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n+1}}{(2n+1)!} z^{2n-3}.$$

Para a_-1 tengo -8pi*i/3

No hay $\pi$ a la vista en la serie de Laurent, y los coeficientes son reales. El coeficiente $a_{-1}$ se obtiene escogiendo el término para $n = 1$ en la serie anterior, que da como resultado

$$a_{-1} = \frac{(-1)^1 2^3}{3!} = -\frac{4}{3}.$$

Lo que has escrito es la respuesta a la última pregunta. Desde $\dfrac{\sin (2z)}{z^4}$ no tiene otras singularidades,

$$\oint_C \frac{\sin (2z)}{z^4}\,dz$$

es, para $C$ un contorno que da una vuelta alrededor del origen, $2\pi i$ veces el residuo en $0$ Es decir, $2\pi i a_{-1}$ independientemente del contorno elegido, siempre que el origen no se encuentre en el contorno, y se enrolle una vez alrededor del origen. Generalmente,

$$\oint_C \frac{\sin (2z)}{z^4}\,dz = 2\pi i \; n(C,0) a_{-1},$$

donde $n(C,0)$ es el número de bobinado de $C$ alrededor del origen.

Answer 2

Escriba $$f(z)=({sin(2z)}/z)z^{-3}.$$ Entonces el primer factor es analítico en $z=0$ y tiende a 2 como $z\rightarrow{0}$ . La integral $$∮_{C}dzsin(2z)/z⁴=∮_{C}dz{\{}sin(2z)/z{\}}1/(z³)$$ desaparece. Esto se suele demostrar utilizando coordenadas polares e integrando a lo largo de un círculo alrededor del polo. Ponga $z=r{\text{exp}}[iϕ]$ . Entonces $$∮_{C}dz((sin(2z))/z)(1/(z³))∼2∮_{C}dz(1/(z³))=2{\int}{_0}^{2π}dϕir{\text{exp}}[iϕ](1/(r³{\text{exp}}[3iϕ]))=((2i)/(r²)){\int}{_0}^{2π}dϕ{\text{exp}}[-2iϕ]=0$$ Edición: Como señalaron @Daniel Fisher y @DonAntonio cometí un error. Aquí hay una versión mejorada (y espero que correcta). $$ f(z) = \frac{sin(2z)}{z^4}=\frac{1}{z^4}{\{}2z-\frac{(2z)^3}{3!}+\frac{(2z)^5}{5!}-…{\}}=\frac{2}{z^3}-\frac{4}{3z}+\frac{4}{15}z-…, = \frac{2}{z^3}-\frac{4}{3z}+{\{}f(z)-\frac{2}{z^3}+\frac{4}{3z}{\}}=\frac{2}{z^3}-\frac{4}{3z}+g(z)$$ donde $g(z)$ es analítico en $0$ . Ahora $$∮_{C}dzf(z)=∮_{C}dz\frac{sin(2z)}{z^4}=∮_{C}dz{\{}\frac{2}{z^3}-\frac{4}{3z}+g(z){\}}=∮_{C}dz{\{}\frac{2}{z^3}-\frac{4}{3z}{\}}=-\frac{4}{3}∮_{C}dz\frac{1}{z}=-\frac{4}{3}2πi=-\frac{8πi}{3}$$