Integración trigonométrica con exponentes negativos

Question

¿Cómo se integra $\csc^4 x/\cot^2 x$ ? Sé que esto es lo mismo que $\csc^4 x \cot^{-2} x$ y cuando se usan técnicas en integrales trigonométricas se termina con $$\int \csc^2 x \csc^2 x \cot^{-2} x \,dx = \int \left(1 + \cot^2 x\right)\left(\cot^{-2} x\right)\csc^2 x \,dx.$$ Realización de la sustitución $u = \cot x \Rightarrow du = -\csc^2 x \,dx$ , $$\begin{align} \ldots{} &= -\int \left(1 + u^2 \right) u^{-2} \,du \\ &= -\int \left( u^{-2} + u^0 \right) \,du \\ &= -\int \left( u^{-2} + 1 \right) \,du \\ &= -\left[ -u^{-1} + u \right] \\ &= (1/\cot x) - \cot x \,. \end{align}$$ ¿Es esta la respuesta definitiva o me he equivocado?

Answer 1

Otro enfoque es utilizar

$\displaystyle\int\frac{\csc^{4}x}{\cot^{2}x}dx=\int\frac{1}{\sin^{4}x}\cdot\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}dx=\int\frac{1}{\sin^{2}x\cos^{2}x}dx=\int\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}dx$

$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\int(\sec^{2}x+\csc^{2}x)dx=\tan x-\cot x+C.$

Answer 2

Demostrar que $$\frac{\csc(x)^4}{\cot(x)^2}=\frac{1}{\sin(x)^2\cos(x)^2}$$ y utilizar la sustitución del ángulo medio tan.