Valor absoluto : Ejercicio de primer año

Question

Demostrar que cada uno de los grupos R :

$$|x+y| \leq\ |x| + |y|$$

Por supuesto que no soy una persona perezosa he intentado resolver antes ya que el profesor nos dio este ejercicio en el examen. Quería saber la respuesta correcta porque todavía no hemos corregido el examen.

Gracias y perdón por las faltas. Esta es mi primera pregunta en este sitio web. ¿Cómo puedo saber si es un duplicado?

Answer 1

Si $x+y\geq0$ entonces $$|x+y|=x+y\leq|x|+|y|.$$ Si $x+y<0$ entonces $$|x+y|=-x-y\leq|x|+|y|.$$

Answer 2

Como ambos lados son números no negativos, es lo mismo demostrar \begin{align*} \lvert x+y\rvert^2\le(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)^2&\iff (x+y)^2\le x^2+y^2+2\lvert x\rvert\,\lvert y\rvert\\&\iff 2xy\le 2\lvert x\rvert\,\lvert y\rvert\iff xy\le\lvert xy\rvert \end{align*}

(Utilizamos $\lvert x\rvert^2=x^2$ ).

Answer 3

Otro método es cuadrarlo:

$$|x|+|y| \geq |x+y|$$ si y sólo si :

$$(|x|+|y|)^2 \geq (x+y)^2$$ $$x^2+2|xy|+y^2 \geq x^2+2xy+y^2$$

$$2|xy| \geq 2xy$$ pero esto es obvio .