¿Cuándo los factores invariantes de una suma directa de matrices corresponden a los de sus sumandos?

Question

(Intenté preguntar esto en math stackexchange, pero no hubo interesados hasta ahora).

Estoy tratando de demostrar algo sobre los matroides, que he reducido a la siguiente pregunta:

Supongamos que tengo una matriz $M$ que es una suma directa de submatrices $M_1,M_2,…,M_k.$ Cuando los factores invariantes de la $\{M_i\}$ partición del conjunto de factores invariantes de $M$ ?

Para ser más explícitos, dejemos que $d_1,…,d_n$ sean los factores invariantes de la matriz $M$ (para que $d_j|d_{j+1}$ para todos $1jn1$ ). Sea $D$ sea el conjunto de estos números, y análogamente dejemos que $D_i$ sea el conjunto de factores invariantes del sumando $M_i$ para cada $i.$ ¿Hay alguna condición conocida bajo la cual:

$$\bigsqcup_iD_i=D?$$

Por definición, $M$ es una matriz diagonal de bloques, donde los bloques son los $\{M_i\}$ . Y de hecho, no es difícil ver que a los efectos de esta cuestión podemos suponer sin pérdida de generalidad que $M$ es realmente diagonal (es decir, cada $M_i$ es una matriz diagonal). Esto significa que simplemente necesito condiciones sobre el orden y la naturaleza de las entradas diagonales.

Sin embargo, cualquier información relacionada con este escenario será bienvenida, ¡incluso si crees que es obvia! Por favor, siéntanse libres de exponer en general.

Gracias.

Answer 1

Por definición $M-XI_n$ es equivalente, en $M_n(k[X])$ a ${\rm diag}(d_1,\ldots,d_n)$ . Igualmente, $M_j-XI_{n_j}$ es equivalente, en $M_n(k[X])$ a ${\rm diag}(d_{j,1},\ldots,d_{j,n_j})$ . Por lo tanto, $M-X_I$ es equivalente a la matriz diagonal con entradas diagonales los polinomios $d_{j,s}$ donde $1\le j\le k$ y $1\le s\le n_j$ . Conclusión: estos últimos polinomios son los factores invariantes de $M$ si y sólo si forman una secuencia ordenada. En otras palabras, si y sólo si, para cada par $(j,s)$ y $(i,t)$ uno de los polinomios $d_{j,s}$ y $d_{i,t}$ divide al otro.