Espacio de Moduli de superficies 3d

Question

Es conocido que existe un fino espacio de moduli de marcado (nonalgebraic) K3 superficies de más de $\mathbb{C}$. Véase por ejemplo el libro de Barth, Hulek, Peters y Van de Ven, sección VIII.12. Por supuesto, la marca aquí es necesario, de lo contrario, la presencia de automorfismos puede ser usado para construir isotrivial no trivial de las familias de K3.

Supongamos que queremos construir una expresión algebraica analógica de este. Por supuesto, algunos la estructura tiene que ser agregado; estoy pensando en algo como la torsión de los puntos de curvas elípticas.

Es allí una manera de añadir un poco de estructura y construir un fino espacio de moduli de (K3 + estructura), que se define sobre $\mathbb{Z}$?

Por supuesto, esto sólo va a parametrizar algebraicas 3d de superficies, por lo que tendrá que tener un número infinito de componentes. Una segunda pregunta, si no queremos añadir estructura, es

Hay una multa de los módulos de la pila de la algebraicas K3 superficies algebraicas (ya sea en el DM o Artin sentido)?

No es difícil producir K3 superficies con un infinito numerable de automorfismos, así que no estoy realmente esperando que la respuesta sea sí, pero quién sabe.

Edit: ya que parece que hay cierta confusión en las respuestas, el punto es que yo estoy pidiendo una MULTA espacio de moduli. Soy consciente de que uno puede considerar espacios de moduli de polarizado 3d, y esta es la razón por la que escribí "por supuesto, esto sólo va a parametrizar algebraicas 3d de superficies, por lo que tendrá que tener un número infinito de componentes".

Answer 1

Esto es en respuesta a la segunda pregunta: la pila de todos los 3d de superficies no es algebraico. Si estás trabajando con Artin del axiomas, entonces el problema es que no existen deformaciones formales que no son eficaces, es decir, uno puede escribir un sistema compatible de superficies 3d $X_n \to \mathrm{Spec}(k[t]/(t^{n+1}))$ que no provienen de una expresión algebraica 3d de la superficie sobre el poder de la serie ring, al menos cuando el campo $k$ es lo suficientemente grande. Me enteré de este hecho de Jason Starr, papel www.math.sunysb.edu/~jstarr/papers/moduli4.pdf (ver página 14 y 15).

Añadido posterior: Como Scott menciona en los comentarios, este problema es específico de la no-polarizada caso. Formal de la deformación de un par (X,L) (donde X es una variedad proyectiva, y L es la línea de paquete de dar un proyectiva incrustación de objetos) es automáticamente algebraicas formales de GAGA.

Answer 2

Creo que usted está buscando para este

http://arxiv.org/pdf/math/0506120

que es lo mismo que:

Rizov, Jordania Módulos de pilas de polarizado $K3$ superficies en la mezcla de característica. Serdica De Matemáticas. J. 32 (2006), no. 2-3, 131--178.

Se basa en una anterior resultado:

Olsson, Martin C. Semistable degeneraciones y período de espacios para polarizada $K3$ superficies. El Duque De Matemáticas. J. 125 (2004), no. 1, 121--203.

que se basa en Friedman Tel. D. (la prueba algebraica de Piatetski-Shapiro y Shafarevich de global Torreli para K3).

Suficiente historia para una respuesta, supongo.

Answer 3

¿Por qué no eres feliz con el espacio de moduli de polarizado 3d, es decir, pares de $(X,L)$ donde $L$ es una amplia línea de paquete? Esta es la norma, y este al menos tiene sentido sobre cualquier campo o $\mathbb Z$. Y el automorphism grupo de $(X,L)$ es finito, ya que es discreto y algebraicas.

Si usted insiste en marcar su K3s con un isomorfismo $H^2(X,\mathbb Z)\to L_{K3}$, entonces sí, usted necesita $H^2(X,\mathbb Z)$ para eso, así que es mejor que trabajar más de $\mathbb C$.

Supongo que uno puede mirar a $H^2(X_{et},\mathbb Z_l)$ lugar... Que sería un pobre sustituto, creo. Celosías $\mathbb Z_l$ son mucho más fáciles de celosías $\mathbb Z$. Incluso si se agregan todos los prime $l$$\mathbb R$, estos no captura el isomorfismo clases de celosías $\mathbb Z$.