encontrar $\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+1)(n^2+2) \cdots (n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2) \cdots (n^2-n)}$

Question

Encuentre $$\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+1)(n^2+2) \cdots (n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2) \cdots (n^2-n)}$$

Intenté aplicar el teorema de la compresión, pero ninguno de mis intentos me llevó a la solución.

Answer 1

Dejemos que $f(n)$ se define por \begin{align*} f(n) &= \frac{(n^2+1)(n^2+2)\cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)\cdots(n^2-n)}\\ &= \frac{(1 + {1 \over n^2} )(1 +{2 \over n^2})\cdots(1 + {n \over n^2})}{(1 - {1 \over n^2} )(1 - {2 \over n^2})\cdots(1 - {n \over n^2})} \end{align*} Entonces $$\ln f(n) = \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + {k \over n^2}\right) - \sum_{k=1}^n \ln\left(1 - {k \over n^2}\right)$$ Utilizando la serie de Taylor para $\ln(1 + x)$ se puede reescribir como $$ \ln f(n) = \sum_{k=1}^n \left({k \over n^2} + O\left({k^2 \over n^4}\right)\right) - \left[\sum_{k=1}^n \left(-{k \over n^2} + O\left({k^2 \over n^4}\right)\right)\right]$$ Utilizando las fórmulas de $\sum_{k=1}^n k$ y $\sum_{k=1}^n k^2$ lo anterior dice que $$ \ln f(n) = {n(n + 1) \over n^2} + O\left({1 \over n}\right)$$ Así, $$\lim_{n \to \infty} \ln f(n) = 1$$ Concluimos que $$\lim_{n \to \infty} f(n) = e^1 = e$$

Answer 2

El teorema del apretón falla porque el límite no es $1$ lo que a su vez ocurre porque el número de factores es ilimitado cuando $n\to\infty$ . Esto sugiere que podría ser necesaria una asintótica más precisa. Para obtenerlas, consideremos que el logaritmo del $n$ La proporción es $$ S_n=\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)-\log\left(1-\frac{k}{n^2}\right). $$ Como todo el mundo sabe, cuando $x\to0$ , $\log(1+x)=x-\frac12x^2+o(x^2)$ . Elija $n$ lo suficientemente grande como para que, para cada $|x|\leqslant\frac1n$ , $$ x-x^2\leqslant\log(1+x)\leqslant x. $$ (Sucede que $n=2$ es suficiente, pero esto es irrelevante). Entonces, aplicando esta doble desigualdad a cada $\log\left(1\pm\frac{k}{n^2}\right)$ en $S_n$ se obtiene $$ \sum_{k=1}^n2\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^4}\leqslant S_n\leqslant\sum_{k=1}^n2\frac{k}{n^2}+\frac{k^2}{n^4}, $$ es decir, utilizando el valor exacto $\sum\limits_{k=1}^nk=\frac12n(n+1)$ y la estimación bruta $\sum\limits_{k=1}^nk^2\leqslant n^3$ , $$ \frac{n(n+1)}{n^2}-\frac1{n^4}n^3\leqslant S_n\leqslant\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac1{n^4}n^3. $$ En otras palabras, $$ 1\leqslant S_n\leqslant1+\frac2n, $$ a partir del cual el límite de $\mathrm e^{S_n}$ debería ser fácil de anotar.

Answer 3

Sugerencia: pruebe con logaritmos (después de cancelar por n veces $n^2$ ). Escribe la doble suma de la serie mercatorial y comprueba qué cambio de orden de la suma da...