¿Cómo determinar subconjuntos del álgebra sigma?

Question

Dejemos que $\mathcal{F}$ ser un $\sigma$ -de subconjuntos de $\Omega$ y supongamos que $B \in \mathcal{F}$ . Demostrar que $\mathcal{G} = \{A \cap B : A \in \mathcal{F} \}$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $B$ .

Mi enfoque. No estoy seguro de si es completo: Primero tenemos que demostrar que $\mathcal{G} $ cumple con las propiedades de un $\sigma$ -Álgebra, es decir:

$\emptyset \in \mathcal{F} \Rightarrow \emptyset=\emptyset \cap B \in \mathcal{G}$

Si $A_1,A_2,...A_n,... \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup\limits_i (A_i \cap B)=(\bigcup\limits_i A_i)\cap B \in \mathcal{G} $

Si $A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$ así $B \setminus A \cap B=A^c\cap B \in \mathcal{G} $

No estoy seguro de que sea suficiente

Answer 1

Sí, es suficiente. Tenga en cuenta que no ha utilizado en ninguna parte el hecho de que $B \in \mathcal F$ , simplemente usaste eso $B \subseteq X$ . Este $\sigma$ -se llama el rastrear de $\mathcal F$ en $B$ o el restricción de $\mathcal F$ a $B$ .

También puede comprobar que si $i : B \to X$ denota el mapa de inclusión, entonces su $\sigma$ -El álgebra es simplemente $i^* \mathcal F$ (es decir, el retroceso del $\sigma$ -Álgebra $\mathcal F$ a lo largo de $i$ ).

Espero que eso ayude,