No sé si esto es una explicación "profunda" o "superficial", pero si alguien sigue leyendo este hilo, aquí va una explicación diferente. Empezaré con el comentario preliminar de que la cohomología de un grupo $K$ es un caso especial de cohomología de espacios topológicos. En la topología en general, se produce el mismo fenómeno que $H^k(X,G)$ está bien definida cuando $G$ es abeliano o $k=1$ .
Consideremos la definición de cohomología simplicial para complejos simpliciales localmente finitos. O, de forma más general, la cohomología de CW para complejos regulares localmente finitos -regular significa principalmente que cada mapa adjunto está incrustado-. Se puede definir una $k$ -cadena con coeficientes en un grupo $G$ (o incluso en cualquier conjunto) como una función del $k$ -células a $G$ . Al tratar de definir el co-límite de una co-cadena $c$ en un $k+1$ -célula $e$ , hay que multiplicar los valores de $c$ en las facetas de $e$ . El problema obvio es que si $G$ es no abeliana, el producto depende del orden. Sin embargo, si $k=1$ La geometría te da un regalo: Las facetas están ordenadas cíclicamente, y lo que querías saber principalmente es si el producto es trivial. El criterio de si una palabra cíclica es trivial está bien definido en cualquier grupo, no sólo en los grupos abelianos. Un fenómeno similar, pero más sencillo, se produce para la noción de coordenadas: Si $e$ es una arista orientada y $c$ es una cadena 0, existe una versión no abeliana de modificar una cadena 1 por $c$ porque los vértices de $e$ son un par ordenado.
Hasta aquí es sólo una versión más geométrica de la respuesta de Eric Wofsey. Está muy cerca del hecho de que $\pi_1$ es no abeliano mientras que los grupos de homotopía superiores son abelianos - y por lo tanto los espacios clasificatorios no conmutativos existen sólo para $K(G,1)$ . Sin embargo, en esta versión de la explicación, aparece algo extra cuando $X=M$ es un manípulo de 3 dimensiones.
Si $M$ es un manípulo de 3, entonces no sólo las aristas de una cara están ordenadas cíclicamente, sino que las caras que inciden en una arista también están ordenadas cíclicamente. Resulta que, al menos a la hora de calcular la cardinalidad de $H^1(M,G)$ , puede dejar que $G$ ser tanto no conmutativo como no concomitante. En otras palabras, $G$ puede sustituirse por un álgebra de Hopf de dimensión finita $H$ que no tiene por qué ser conmutativo o cocomutativo. La finitud es necesaria porque es un invariante de conteo. El invariante resultante $\#(M,H)$ fue un tema de mi tesis doctoral y se explica en Álgebras de Hopf involutivas e invariantes de 3 maníferos y Álgebras de Hopf no involutivas e invariantes de 3 manifolds . Aunque la motivación es original, el invariante es un caso especial de invariantes cuánticos más estándar definidos por otras personas. (La misma construcción también fue encontrada posteriormente por tres físicos, pero ahora mismo no recuerdo sus nombres).
Muchos 3-manifolds son también espacios clasificatorios de grupos, por lo que para estos grupos existe la misma noción de cohomología de grupo no conmutativa.