¿Por qué existe la cohomología de grupos no abelianos?

Question

Si $K$ es un grupo no abeliano en el que un grupo $G$ actúa a través de automorfismos, podemos definir los 1-cociclos y los 1-cobrazos imitando las fórmulas explícitas procedentes de la resolución de barras en la cohomología de grupos ordinarios, y así tenemos una noción razonable de $H^1(G, K)$ .

Resulta que tenemos una parte de la secuencia exacta larga esperada, hasta que esta construcción se rompe para construir $H^i$ cuando $i > 1$ donde se detiene la larga secuencia exacta. También hay otros análogos a la cohomología de grupo ordinaria. La única prueba que he visto de todo esto es a mano. ¿Hay alguna explicación más profunda de por qué existe la cohomología de grupo no abeliana (y luego deja de existir)?

Answer 1

Topológicamente, se podría decir que esto es cierto porque $K(A,1)$ existe para grupos no abelianos $A$ . Cuando la acción de $G$ en $A$ es trivial, al menos, $H^1(G,A)$ deben ser clases de homotopía de mapas de $K(G,1)$ a $K(A,1)$ (de la misma manera $H^n(G,A) = H^n(K(G,1);A) =$ clases de homotopía de los mapas $K(G,1) \to K(A,n)$ para $A$ abeliana). De manera similar, $H^0$ se define con coeficientes en cualquier conjunto punteado.

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Eric, creo que $H^{1-n}(G, A)$ es $\pi_n$ del espacio de puntos fijos de homotopía $K(A, 1)^{hG}$ . Esa secuencia exacta que termina en $H^1$ - que es sólo un conjunto, mientras que $H^0$ es un grupo - es en realidad la secuencia exacta larga del fibrado $K(A, 1)^{hG} \to K(B, 1)^{hG} \to K(C, 1)^{hG}$ disfrazado.

Esa reindexación $1-n$ está relacionado con el $1$ en $K(A, 1)$ ; si $A$ es abeliano entonces podemos reemplazar todas las ocurrencias de $1$ por $r$ para cualquier $r \geq 0$ , dando segmentos arbitrariamente largos de la secuencia exacta larga. (O puede utilizar el lenguaje de los espectros: $H^{-n}(G, A) = \pi_n((HA)^{hG})$ . Tenga en cuenta que $(HA)^{hG}$ tiene grupos de homotopía no nulos sólo en la no positivo dimensión).

$K(A, 1)^{hG}$ es un grupito (sólo tiene homotopía en dimensiones 0 y 1) y espero que sea el grupito de algún tipo de extensiones de $G$ por $A$ (donde los morfismos son isomorfismos de extensiones que son la identidad en $G$ y $A$ ). $H^1(G, A)$ clasificaría esas extensiones, y $H^0(G, A) = A^G$ sería el grupo de automorfismo del punto base, que supongo que es el producto semidirecto (esto es fácil de comprobar).

Answer 3

No sé si esto es una explicación "profunda" o "superficial", pero si alguien sigue leyendo este hilo, aquí va una explicación diferente. Empezaré con el comentario preliminar de que la cohomología de un grupo $K$ es un caso especial de cohomología de espacios topológicos. En la topología en general, se produce el mismo fenómeno que $H^k(X,G)$ está bien definida cuando $G$ es abeliano o $k=1$ .

Consideremos la definición de cohomología simplicial para complejos simpliciales localmente finitos. O, de forma más general, la cohomología de CW para complejos regulares localmente finitos -regular significa principalmente que cada mapa adjunto está incrustado-. Se puede definir una $k$ -cadena con coeficientes en un grupo $G$ (o incluso en cualquier conjunto) como una función del $k$ -células a $G$ . Al tratar de definir el co-límite de una co-cadena $c$ en un $k+1$ -célula $e$ , hay que multiplicar los valores de $c$ en las facetas de $e$ . El problema obvio es que si $G$ es no abeliana, el producto depende del orden. Sin embargo, si $k=1$ La geometría te da un regalo: Las facetas están ordenadas cíclicamente, y lo que querías saber principalmente es si el producto es trivial. El criterio de si una palabra cíclica es trivial está bien definido en cualquier grupo, no sólo en los grupos abelianos. Un fenómeno similar, pero más sencillo, se produce para la noción de coordenadas: Si $e$ es una arista orientada y $c$ es una cadena 0, existe una versión no abeliana de modificar una cadena 1 por $c$ porque los vértices de $e$ son un par ordenado.

Hasta aquí es sólo una versión más geométrica de la respuesta de Eric Wofsey. Está muy cerca del hecho de que $\pi_1$ es no abeliano mientras que los grupos de homotopía superiores son abelianos - y por lo tanto los espacios clasificatorios no conmutativos existen sólo para $K(G,1)$ . Sin embargo, en esta versión de la explicación, aparece algo extra cuando $X=M$ es un manípulo de 3 dimensiones.

Si $M$ es un manípulo de 3, entonces no sólo las aristas de una cara están ordenadas cíclicamente, sino que las caras que inciden en una arista también están ordenadas cíclicamente. Resulta que, al menos a la hora de calcular la cardinalidad de $H^1(M,G)$ , puede dejar que $G$ ser tanto no conmutativo como no concomitante. En otras palabras, $G$ puede sustituirse por un álgebra de Hopf de dimensión finita $H$ que no tiene por qué ser conmutativo o cocomutativo. La finitud es necesaria porque es un invariante de conteo. El invariante resultante $\#(M,H)$ fue un tema de mi tesis doctoral y se explica en Álgebras de Hopf involutivas e invariantes de 3 maníferos y Álgebras de Hopf no involutivas e invariantes de 3 manifolds . Aunque la motivación es original, el invariante es un caso especial de invariantes cuánticos más estándar definidos por otras personas. (La misma construcción también fue encontrada posteriormente por tres físicos, pero ahora mismo no recuerdo sus nombres).

Muchos 3-manifolds son también espacios clasificatorios de grupos, por lo que para estos grupos existe la misma noción de cohomología de grupo no conmutativa.

Answer 4

Una forma concreta y aritméticamente útil de interpretarlo sin apelar a fórmulas explícitas de cocos es expresar todo en el lenguaje de los torsores. Más concretamente, a efectos aritméticos, si el grupo G es Gal(F'/F) para una extensión de Galois F'/F y si el grupo K es H(F') para un esquema de grupo F H de tipo finito y K está dotado de la evidente acción G izquierda, entonces ${\rm{H}}^1(G,K)$ es el conjunto de clases de isomorfismo de los tores H sobre F que se dividen sobre F' (es decir, que admiten un punto F'-racional). La secuencia exacta de bajo grado puede entonces expresarse enteramente en tales términos, utilizando pushouts y pullbacks con torsores. (En el argumento está implícita la efectividad del descenso de Galois para los torsores H, que utiliza que H es cuasi-proyectivo sobre F).

Esto es útil en entornos tan variados como H una variedad abeliana y H un grupo algebraico lineal, e incluso el caso no liso. De hecho, cuando se utiliza H no liso es bastante restrictivo utilizar la cohomología de Galois (pero no es antinatural si se estudian conjuntos de Tate-Shafarevich con coeficientes en un Aut-funtor, como para una variedad proyectiva), y en tales casos la variante "correcta" que suele ser más útil es trabajar con torsores para la topología fppf sobre F. El punto de vista de los torsores también ofrece una perspectiva útil cuando se trabaja sobre anillos de base más ricos que los campos, como los anillos de S-integrantes en un campo global, incluso en el caso de un grupo de coeficientes suaves (sobre el anillo de S-integrantes), para el que la topología etale es "suficiente". Véase la sección 5.3 del capítulo I del libro de Serre sobre cohomología de Galois para el caso de Galois, el libro de Milne "Etale cohomology" para la generalización con topologías planas y 'etale, y el apéndice B de mi trabajo sobre "Finiteness theorems for algebraic groups over function fields" para un desarrollo concreto del diccionario entre los lenguajes torsor y Galois (donde trabajo con esquemas de grupos afines, debido al contexto de ese trabajo).

Algunos trabajos de Mazur y Grothendieck (no como coautores...) sobre variedades abelianas hacen un uso creativo del punto de vista del torsor al trabajar con grupos de Tate-Shafarevich. La secuencia exacta para los grupos de Brauer en la teoría de campos de clase global también tiene una interpretación útil a través de los torsores; véase los artículos de Grothendieck sobre los grupos de Brauer para obtener más información en ese sentido (y en alguna parte de ellos también habla de Tate-Shafarevich). Hay que tener en cuenta que cuando la base no es un campo (o incluso cuando es un campo pero relajamos "cuasi-proyectivo" a "tipo localmente finito" en $H$ (como en el caso de los Aut-esquemas de variedades proyectivas o propias) entonces la eficacia del descenso para los torsores no está nada clara, incluso con hipótesis cuasi-proyectivas, por lo que a menudo hay que entender que los torsores se toman en la categoría de los espacios algebraicos (para los que el descenso fppf es siempre eficaz). En el libro de los Modelos de Néron hay una discusión (en algún lugar del capítulo 6, creo) sobre la efectividad del descenso para los torsores si se desea evitar los espacios algebraicos (bajo hipótesis adecuadas sobre el "grupo de coeficientes"), pero trabajar con espacios algebraicos no es tan malo una vez que uno se acostumbra a ellos y es un entorno más natural debido a su mejor comportamiento general con respecto al descenso.

Answer 5

El punto de vista topológico de la respuesta de Eric se aplica también a la cohomología con acciones no triviales. Si la acción de G sobre A no es trivial, entonces la cohomología del grupo $H(G;A)$ puede identificarse con la cohomología topológica de $K(G,1)$ con coeficientes locales en el sistema de coeficientes (= gajo localmente constante) que es $A$ con su acción de $\pi_1(K(G,1)) = G$ . Así que la verdadera pregunta es entonces, ¿por qué es la cohomología de la gavilla $H^1(X;A)$ definida con coeficientes en una gavilla de grupos no abelianos, pero no $H^n$ para $n > 1$ ? Esto se deduce esencialmente del mismo argumento ( $K(A,1)$ existe para cualquier grupo $A$ pero otros $K(A,n)$ 's sólo para $A$ abeliana) pero aplicada en la categoría (o $(\infty, 1)$ -o categoría modelo, o lo que sea) de gavillas de espacios sobre $X$ .

También existe una especie de "cohomología no abeliana superior". Para un grupo no abeliano $A$ No se puede hacer $K(A,2)$ pero puedes hacer $B(\operatorname{hAut}(K(A,1)))$ donde $\operatorname{hAut}$ denota el monoide topológico de auto-homotopía-equivalencias, y se puede pensar en clases de homotopía de mapas de un espacio $X$ (como $K(G,1)$ ) en $B(\operatorname{hAut}(K(A,1)))$ como una especie de "no abeliana $H^2$ ". Si $A$ resulta ser abeliana, esta construcción contiene los habituales abelianos $H^2$ a través del mapa $K(A,2) = B(K(A,1)) \to B(\operatorname{hAut}(K(A,1)))$ dado por dejar que $K(A,1)$ actúan sobre sí mismos mediante la traslación a la izquierda (ya que es un grupo topológico siempre que $A$ es abeliana). Pero incluso en este caso, el "no abeliano $H^2$ " contiene mucho más que el abeliano habitual $H^2$ por lo que es un poco engañoso llamarlo "no abeliano". $H^2$ ".