Teoría del campo efectivo, términos sobrenormalizables y simetrías

Question

No sé si entiendo el misterio con los términos super-renormalizables. Es que como podemos hacer teoría de perturbaciones sin paranoia esperamos que el acoplamiento sea siempre lo suficientemente pequeño. Pero si consideramos una teoría de mayor energía, los operadores "relevantes" se multiplican en la teoría de baja energía por factores de potencias de corte que pueden hacerse arbitrariamente altos, lo que nos hace preguntarnos por qué la teoría de perturbaciones tuvo éxito para empezar. Si esto es correcto, ¿significa esto que los operadores "relevantes" deben estar prohibidos por la simetría subyacente del lagrangiano de alta energía?

Esta pregunta se inspira en el siguiente documento http://arxiv.org/abs/hep-th/9210046 de Polchinski en particular lo que se dice en las páginas 8 y 9,

"Los términos no normalizables no son un problema, pero hay un nuevo tipo de problema: ¡los términos superrenormalizables! Para ver por qué son malos considerar...."

Answer 1

En las páginas 8 y 9 del citado documento se habla de naturalidad frente a renormalizabilidad, por lo que es importante aclarar la diferencia.

En primer lugar, es bueno tener una teoría renormalizable porque puedes calcular cosas. Sin embargo, no es que "como podemos hacer teoría de perturbaciones sin paranoia esperamos que el acoplamiento sea siempre lo suficientemente pequeño" como se menciona en el post, sino al revés. Es decir, siempre que el acoplamiento sea pequeño, podemos hacer teoría de perturbaciones y deberíamos comprobarlo y ser capaces de justificar por qué pensamos que el acoplamiento puede ser pequeño antes de empezar a expandir.

Dicho esto, supongamos que tenemos una teoría renormalizable, que por supuesto sólo implicará opearadores relevantes a bajas energías. Entonces (dependiendo de para qué usemos la teoría) también podríamos querer comprobar si es natural o no, en el sentido descrito por Polchinski.

Esto se explica mejor con su ejemplo: Si tomamos la teoría de un escalar libre, entonces la renormalizabilidad nos permite añadir un término $m\phi^2$ al Lagrangiano. Podemos elegir que m tenga el valor que queramos, pero no importa lo que elijamos, hay correcciones de bucle a la masa que contribuirán al valor que elegimos. Para un escalar libre las correcciones escalan como $\Lambda^2$ lo que significa que al final la masa del escalar estará en torno a esa escala, a no ser que se produzcan cancelaciones milagrosas en las correcciones entre términos de distinto orden. Tales cancelaciones serían antinaturales, lo que justifica la terminología. Nótese también que la naturalidad está íntimamente relacionada con las jerarquías: es antinatural tener a diferentes escalas $m$ y $\Lambda$ que son muy diferentes entre sí.

Así que en este punto tenemos dos opciones:

i) incluimos un término de masa porque podríamos estar haciendo, por ejemplo, una aplicación en física de la materia condensada donde nada nos obliga a exigir naturalidad o

ii) si estamos tratando de estudiar una teoría fundamental de la naturaleza y queremos que sea natural, entonces tenemos que plantear una condición adicional que prohíba tales términos. En la QED, imponemos el requisito de la simetría quiral, que entonces prohíbe estos términos de masa.