Cuestión integral ¿funciones racionales?

Question

Tengo que encontrar la integral de $\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+2x}}$ . Así que pensé en escribirlo como $\frac{1}{(x+1)\sqrt{(x+1)^2-1}}$ aquí reemplazo $x+1=u$ y tengo $\frac{1}{u(u^2-1)}$ . ¿Qué hago ahora? La respuesta en mi libro de texto es $-\arcsin[\frac{1}{x+1}]$ .

Answer 1

Se puede hacer la integral utilizando el $\sqrt{x^2+2x}=t- x$ también.

Answer 2

Sugerencia: sustituirlo por $u = \sec{y}$ , $du = \sec{y} \tan{y} dy$ . Entonces $u^2-1 = \tan^2{y}$ .

Answer 3

Su sustitución es buena. Ahora se puede utilizar una sustitución trigonométrica. Pero la sustitución $u=\frac{1}{t}$ funciona muy bien. Entonces $du=-\frac{dt}{t^2}$ y tras un poco de álgebra llegamos a la muy conocida $$\int -\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}},$$ y estamos a un paso de la respuesta que mencionas.

Answer 4

Dejemos que $x+1=u$ y luego $u=1/t$ $$\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-1}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=-\arcsin t +C$$ Así, $$\int\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+2x}}\mathrm{dx}=-\arcsin\left(\frac{1}{x+1}\right)+C$$