Es un $p$ -Sin torsión $\mathbb{Z}_{(p)}G$ -con dimensión proyectiva finita?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $\mathbb{Z}_{(p)}$ sea el anillo de los enteros p-locales (localización de $\mathbb{Z}$ en $p\mathbb{Z}$ ). Sea $M$ ser un $p$ -libre de torsión (es decir $pm = 0$ implica $m=0$ ) $\mathbb{Z}_{(p)}G$ -con dimensión proyectiva finita. ¿Se deduce que $M$ debe ser proyectiva en sí misma?

Answer 1

Esta es una pregunta muy antigua, pero no ha sido contestada y acaba de ser editada, así que déjame intentarlo.

Los productos tensoriales serán asumidos $\mathbb Z$ a menos que se indique lo contrario.

En primer lugar, permítanme señalar que tendremos que asumir $M$ está generada finitamente (equivalentemente presentada finitamente) sobre $\mathbb Z_{(p)}$ (de forma equivalente $\mathbb Z_{(p)}[G]$ ), de lo contrario el resultado es falso. En efecto, $\mathbb Z_{(p)}[G]$ es plana sobre $\mathbb Z_{(p)}$ por lo que cualquier resolución $0\to P_1\to P_0 \to \mathbb Q\to 0$ en $\mathbb Z_{(p)}$ con $P_1,P_0$ libre produce una resolución libre finita de $\mathbb Q[G]$ mediante tensores con $\mathbb Z_{(p)}[G]$ ; pero por supuesto $\mathbb Q[G]$ no es proyectiva (no tiene mapas a ningún módulo libre)

Teniendo esto en cuenta, supongamos que $M$ está finitamente presentada.

Dejemos que $0\to P_n\to ...\to P_0\to M\to 0$ sea una resolución proyectiva finita.

Dado $N$ a $\mathbb Z_{(p)}[G]$ -módulo, $|G|$ mata a $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)$ para $*\geq 1$ (por razones generales si $*>1$ : $\mathbb Z_{(p)}$ es un PID y $\mathbb Z_{(p)}[G]$ -proyectiva implica $\mathbb Z_{(p)}$ -proyectiva- para $*=1$ tenemos que tener algo así como $M$ proyectiva sobre $\mathbb Z_{(p)}$ , lo que está implícito en las hipótesis, ya que $M$ está generada finitamente sobre $\mathbb Z_{(p)}$ y $p$ -libre de torsión, utilizando el teorema de la estructura sobre un PID)

Pero también para cualquier primo $q\neq p$ , $q$ es un isomorfismo de $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)$ (por razones obvias). Así que ahora nos centraremos en la multiplicación por $p$ Si se trata de una iso, la multiplicación por $|G|$ será una iso, y no hay muchos grupos con cero como automorfismo. De hecho, muchas veces no será un iso, pero será suryectivo, lo que es suficiente para nuestros propósitos.

Para ello, primero estudiaremos $\mathbb F_p\otimes M$ como $\mathbb F_p[G]$ -módulo.

Desde $M$ es $p$ -Sin torsión, $\mathrm{Tor}^{\mathbb Z_{(p)}}_*(M,\mathbb F_p) = 0$ para $*>0$ para que $0\to P_n\otimes \mathbb F_p\to...\to P_0\otimes\mathbb F_p\to M\otimes \mathbb F_p\to 0$ sigue siendo exacta.

Ahora $-\otimes \mathbb F_p$ es adjunto a la izquierda de la restricción, que es exacta, por lo que preserva los proyectivos, por lo que nuestra secuencia exacta es de hecho una resolución proyectiva de $M\otimes \mathbb F_p$ en $\mathbb F_p[G]$ . Pero sobre $\mathbb F_p[G]$ los proyectivos son injetivos (este es un resultado general, utiliza el hecho de que $\mathbb F_p$ es un campo y que $G$ es finito), por lo que una resolución proyectiva finita implica que $M\otimes \mathbb F_p$ es $\mathbb F_p[G]$ -proyectiva.

Además, si tomamos la misma resolución proyectiva, se demuestra que $\mathrm{Ext}^*(M,N\otimes \mathbb F_p)$ puede calcularse sobre $\mathbb F_p[G]$ con la resolución $(P_i)$ es decir, coincide con el cálculo sobre $\mathbb Z_{(p)}[G]$ . En particular, $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N\otimes \mathbb F_p) = 0$ para $*>0$ .

Ahora toma $N$ cualquier módulo finitamente generado. Dado que $\mathbb Z_{(p)}$ es un PID, $N$ es de la forma $\mathbb Z_{(p)}^n\oplus \bigoplus_i \mathbb Z/p^{n_i}$ como $\mathbb Z_{(p)}$ -módulo. Por lo tanto, $p^kN$ es $p$ -sin torsión para $k$ lo suficientemente grande.

Pero nótese que tenemos una corta secuencia exacta $0\to pN\to N\to N\otimes \mathbb F_p \to 0$ por lo que nuestros cálculos anteriores muestran que $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,pN)\to \mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)$ es suryente para cualquier $*\geq 1$ (de hecho es una iso para $*>1$ )

Se deduce (por iteración) que $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,p^kN)\to \mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)$ también es sobreyectiva, ya que la $k$ lo suficientemente grande que elegimos arriba.

Así que si podemos demostrar que $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)=0, *>0$ para $N$ $p$ -libre de torsión, será suficiente para los módulos generados finitamente porque $p^k N$ es $p$ -Sin torsión.

Pero ahora si $N$ es $p$ -libre de torsión, tenemos una secuencia exacta corta $0\to N\to N\to N\otimes \mathbb F_p\to 0$ lo que da como resultado que la multiplicación por $p$ es suryente en $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)$ mediante el mismo análisis anterior.

Combinando esto con lo que ya hemos dicho, se deduce que la multiplicación por $|G|$ es sobreyectiva, pero también es $0$ Así que $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)=0, *>0$ para $N$ generado finitamente $p$ -libre de torsión, por lo que para $N$ generado finitamente, a través de la $p^k N$ truco de arriba.

Volveremos a utilizar la generación finita de $M$ para pasar de la generación finita $N$ a la arbitrariedad $N$ .

De hecho, desde $M$ está finitamente presentada (porque por supuesto sobre $\mathbb Z_{(p)}[G]$ , finitamente generada implica finitamente presentada), $\hom_G(M,-)$ conmuta con colímetros filtrados. Como esos colímites son exactos sobre la categoría de módulos, lo mismo ocurre con $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,-)$ .

Dado que cualquier módulo es el colímite filtrado de sus submódulos finitamente generados, el $0$ -El resultado de la bondad va desde los módulos generados finitamente a los arbitrarios: $\mathrm{Ext}^*_{\mathbb Z_{(p)}[G]}(M,N)=0, *>0$ para cualquier $N$ . En otras palabras, $M$ es proyectiva, y hemos terminado.

Puede que haya una prueba más sencilla, pero espero que al menos no me haya equivocado en esta.