Base de una proyección

Question

Demuestre que si $E$ es una proyección sobre un espacio vectorial de dimensión finita, entonces existe una base $B$ tal que la matriz $(e_{ij})$ de $E$ con respecto a $B$ tiene la siguiente forma especial: $e_{ij}= 0$ o $1$ para todos $i$ y $j$ y $e_{ij}=0$ si $i\neq j$ .

Parece que tengo algunas dificultades para entender esta pregunta. Me vendría bien un poco de ayuda en la dirección correcta.

Answer 1

Añadido. En el contexto del álgebra lineal, una proyección es cualquier función $E\colon\mathbf{V}\to\mathbf{V}$ que es una transformación lineal, y es tal que $E^2=E$ (es decir, aplicando $E$ dos veces es lo mismo que aplicarlo una vez.

Por ejemplo, el mapa $E\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ que mapea $(a,b,c)$ a $(a,b,0)$ es una proyección: es lineal (compruébalo), y $E^2(a,b,c) = E(E(a,b,c)) = E(a,b,0) = (a,b,0) = E(a,b,c)$ . ¿Qué es lo que $E$ ¿a la base estándar? Envía $(1,0,0)$ a sí mismo; envía $(0,1,0)$ a sí mismo; y envía $(0,0,1)$ a $(0,0,0)$ . Si escribimos la matriz de $E$ con respecto a la base estándar, obtenemos $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right),$$ que está de acuerdo con la proposición que se le pide que pruebe.

He aquí otro ejemplo: tomemos la transformación lineal $E\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ que envía $(a,b)$ a $(\frac{1}{2}(a+b),\frac{1}{2}(a+b))$ . Se trata de una transformación lineal (comprobar), y $$\begin{align*} E^2(a,b) &= E\left(\frac{1}{2}(a+b),\frac{1}{2}(a+b)\right)\\ &= \left(\frac{1}{4}(a+b)+\frac{1}{4}(a+b), \frac{1}{4}(a+b)+\frac{1}{4}(a+b)\right)\\ &= E(a,b),\end{align*}$$ así que $E$ es una proyección. Ahora, en relación con la base estándar, la matriz de $E$ es no de la forma que desee: $$\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right).$$ Sin embargo, observe que un vector $(x,y)$ se asigna a sí mismo bajo $E$ si y sólo si $(x,y)=(\frac{1}{2}(x+y),\frac{1}{2}(x+y))$ si y sólo si $\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}y$ si y sólo si $x=y$ . Así que los vectores que se mapean a sí mismos son todos múltiplos de $(1,1)$ . Si tomamos $(1,1)$ como uno de los vectores base que pondremos en $B$ entonces la columna correspondiente a $(1,1)$ será todo $0$ s con un $1$ en la diagonal: exactamente el tipo que necesitamos.

El segundo vector de $B$ tiene que ser un vector que se mapea a sí mismo o a $(0,0)$ (ya que queremos la matriz de $E$ en relación con $B$ para ser todo $0$ s excepto quizás para algunos $1$ s en la diagonal; piense en lo que eso significa en términos de lo que $E$ hace a los elementos de $B$ ). Pero si el segundo vector se mapea a sí mismo, entonces tendrá que ser un múltiplo de $(1,1)$ (porque cada vector que se mapea a sí mismo es un múltiplo de $(1,1)$ ), y luego $B$ no serán linealmente independientes. Esto significa que el segundo vector en $B$ tiene que ser un vector que se mapea a $(0,0)$ por $E$ . Un vector $(x,y)$ se asigna a $(0,0)$ si y sólo si $x+y=0$ si y sólo si $x=-y$ . Así que si elegimos $(1,-1)$ para ser el segundo vector de $B$ es decir, si $B=\{(1,1),(1,-1)\}$ entonces $B$ es una base para $\mathbb{R}^2$ (¡compruébalo!) y la matriz de $E$ con respecto a $B$ es: $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right),$$ que tiene la forma deseada.

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Ahora, en general...

Usted sabe que si $E$ es una proyección, entonces $E=E^2$ . Sea $\mathbf{W}=\mathrm{Im}(E)$ . Entonces, ¿cómo $E$ actuar $\mathbf{W}$ ? Es decir, ¿qué es $E|_{\mathbf{W}}$ (la restricción de $E$ a $\mathbf{W}$ )? Entonces, si se toma una base para $\mathbf{W}$ ¿Qué es lo que hace $E$ ¿hacer a esas bases?

Ese será nuestro comienzo para $B$ . A continuación, tenemos que completar $B$ para que el resto de la matriz de $E$ en relación con $B$ es como se describe. De la descripción, vamos a necesitar cada otros elemento de la base para satisfacer $E\mathbf{x}=\mathbf{x}$ o $E\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Lo primero no puede funcionar, porque eso significaría que $\mathbf{x}\in\mathbf{W}$ que no puede suceder (ya tenemos una base para $\mathbf{W}$ "en" $B$ ). Así que vamos a necesitar que cualquier otro elemento de la base esté en el núcleo de $E$ . (El núcleo es otro nombre para el espacio nulo, en caso de que lo conozcas por ese nombre).

Hmmm... ¿Es eso posible? Necesitaríamos que el espacio vectorial fuera igual a $\mathrm{W}+\mathrm{ker}(E) = \mathrm{Im}(E) + \mathrm{ker}(E)$ . Desde $\mathrm{ker}(E)\cap\mathrm{Im}(E)=\{\mathbf{0}\}$ (¡pruébalo!) eso significaría que el espacio vectorial es $\mathrm{Im}(E)\oplus \mathrm{ker}(E)$ .

¿Es este el caso? Si es así, ¡hemos terminado! Tome una base para $\mathrm{ker}(E)$ , tomar una base para $\mathrm{Im}(E)$ , júntalos para obtener $B$ . Si no, tendremos que volver a empezar.