Supongamos que tenemos un mapa lineal $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4$ tal que $\operatorname{dim} (\operatorname{Im}T) < \operatorname{dim} (\operatorname{ker}T)$ y la matriz que representa $T$ en la base $B=((1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0))$ :
$$[T]_B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & a_1 & b_1 & c_1\\ 1 & a_2 & b_2 & c_2\\ 1 & a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}$$
Necesito encontrar los números $a_i, b_i, c_i ~~~ (1 \leq i \leq 3)$
Mi intento: de $\operatorname{dim} (\operatorname{Im}T) < \operatorname{dim} (\operatorname{ker}T)$ Concluyo que $\operatorname{dim} (\operatorname{Im}T)=1$ , $\operatorname{dim} (\operatorname{ker}T)=3$ (porque $\operatorname{dim} (\mathbb{R}^4)=4, T(1,1,1,1) \neq 0 \Rightarrow \operatorname{Im}T \neq \{0\}$ y el resto se deduce del teorema de la nulidad).
Mi problema es con los escalares desconocidos. Porque $\operatorname{dim} (\operatorname{ker}T)>0$ el determinante de $T$ debe ser igual a cero ( $\det{T}=0$ ), porque sólo entonces $[T]_B \vec{v} = \vec{0}$ tendrá soluciones no triviales. Sin embargo, la expresión para $\det{T}$ es horrible y muy complejo, incluso para el $4 \times 4$ matriz. Seguro que me falta algo sencillo pero crucial. No pido una solución, sólo una pista o una idea. ¿Qué me falta?
