Consideremos el operador de Hilbert Schmidt $K: L^2(\Omega) \rightarrow L^2(\Omega)$ , $\Omega \subset \subset \mathbb R^N$ con $k \in L^2(\Omega \times \Omega)$ y $f \in L^2(\Omega)$ ,
$$(Kf)(x) := \int_\Omega k(x,y)f(y)\, dy.$$
Quiero demostrar que el operador de Hilbert Schmidt $K$ es un operador compacto. Por lo tanto, estoy utilizando esta caracterización.
Dejemos que $X$ , $Y$ sean espacios lineales normados y $X$ reflexivo. Un operador lineal continuo $T: X \rightarrow Y$ que mapea secuencias débilmente convergentes en secuencias fuertemente convergentes es compacta.
(Ya sabemos que $K$ está bien definida como se demuestra aquí .)
Mi pregunta es, ¿no es obvio que $K$ ¿es compacto?
- Sabemos que $K$ es lineal y acotada, por tanto continua.
- Todo mapa continuo lleva secuencias débilmente convergentes a secuencias débilmente convergentes.
- La propia norma también es continua.
- La convergencia débil junto con la convergencia de las normas implica la convergencia.
Así, $K$ es compacto. ¿Me he perdido algo? O mejor: ¿Qué me estoy perdiendo aquí?
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También añado la prueba del libro de texto para completarla:
Prueba. Dejemos que $(f_n)_{n \in \mathbb N} \subset L^2(\Omega)$ una secuencia débilmente convergente, entonces $(f_n)_{n \in \mathbb N}$ está acotado. Es decir, $\exists C > 0 $ tal que $||f_n||_{L^2(\Omega)} \leq C$ , $\forall n \in \mathbb N$ . Por el teorema de Fubini tenemos para casi todo $x\in \Omega$ que $$ || k(x,\cdot) ||_{L^2(\Omega)} = \int_\Omega |k(x,y)|^2 \, dy < \infty .$$
Así, para casi todos los $x \in \Omega$ tenemos
$\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} (Kf_n)(x) & = \int_\Omega k(x,y)f_n(y) \, dy = \lim_{n \rightarrow \infty} \langle k(x,\cdot), f_n \rangle_{L^2(\Omega)} \\ & = \langle k(x,\cdot), f \rangle_{L^2(\Omega)} = \int_\Omega k(x,y)f(y) \, dy = (Kf)(x) \end{align}$
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$ (Kf_n)(x) \leq ||f_n||_{L^2(\Omega)} \int_\Omega |k(x,y)|^2 \, dy \leq C \, \int_\Omega |k(x,y)|^2 \, dy $$
Por tanto, por el teorema de convergencia dominante de Lebesgue tenemos convergencia de las normas $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega |(Kf_n)(x)| \, dx = \int_\Omega |(Kf)(x)| \, dx ,$$ es decir $|| Kf_n ||_{L^2(\Omega)} \rightarrow || Kf ||_{L^2(\Omega)}\, \, (n\rightarrow \infty)$ . Ya que la convergencia débil junto con la convergencia (fuerte o normal) de las normas implica una convergencia (fuerte), $K$ es compacto.
