Ejemplos naturales de secuencias de funtores adjuntos

Question

Estoy buscando ejemplos de secuencias de funtores adjuntos. Que sean secuencias (posiblemente acotadas) $$(...,F_{-1}, F_{0}, F_1, F_2,...)$$ de manera que cada $F_n$ es adjunto a la izquierda de $F_{n+1}$ . Llamamos a tal secuencia cíclica de orden $k$ si para uno $n$ (y por lo tanto para todos) tenemos $F_{n} \cong F_{n+k}$ . Es relativamente fácil demostrar que existen secuencias cíclicas de todos los órdenes y secuencias no cíclicas de todas las longitudes posibles. Esto puede hacerse, por ejemplo, utilizando posets, véase http://www.springerlink.com/content/pmj5074147116273/ .

Estoy buscando más ejemplos "naturales" de tales secuencias que sean lo más largas posible. Por natural me refiero a que crezcan fuera de los "funtores habituales" (perdón por esta afirmación tan vaga...)

Permítanme dar dos breves ejemplos: 1) Dejemos que $U: Top \to Set$ sea el functor de olvido de espacios topológicos localmente conectados a conjuntos. Esto induce una secuencia de longitud 4: $$ (\pi_0 , Dis , U , CoDis) $$ donde $Dis$ y $CoDis$ son los funtores que dotan a un conjunto de la topología discreta e indiscreta. Entonces la secuencia se detiene. Toneladas de ejemplos de este tipo son inducidos por funtores pullback en geometría algebraica.

2) una secuencia cíclica de orden 2: el functor Diagaonal $\Delta: A \to A \times A$ para cualquier categoría abeliana $A$ es adjunto a la izquierda y a la derecha de la suma directa $$ ( ...,\Delta,\oplus,\Delta,\oplus,...)$$

Answer 1

El functor de la categoría de grupos abelianos a la categoría de flechas de grupos abelianos que envía un objeto a su morfismo de identidad tiene tres adjuntos a la izquierda y tres a la derecha, para una cadena de siete funtores. Los adyacentes extremos son los funtores que asignan a una flecha su núcleo o cokernel, como objeto.

Answer 2

Para cualquier categoría $B$ con pequeños hom-sets se puede formar la incrustación de yoneda $y:B\to[B^{op},Set]$ (aunque si $B$ no es pequeño, $[B^{op},Set]$ puede no tener a su vez pequeños hom-sets).

Rosebrugh y Wood mostraron texto del enlace aquí que si $B$ es a su vez la categoría de conjuntos, entonces existe una cadena adyacente $u\dashv v\dashv w\dashv x\dashv y$ y que esto caracteriza a $Set$ .

Las adyacencias $\pi_0\dashv Dis\dashv U\dashv CoDis$ s también funcionan si sustituimos Top por cualquiera de las categorías SSet de conjuntos simpliciales, Cat de categorías, Gpd de groupoides, o Preord de preórdenes.

Answer 3

Si $f:X \to Y$ es un morfismo propio de variedades algebraicas, y $D(X)$ , $D(Y)$ son las categorías derivadas (no limitadas) de las láminas cuasicoherentes, entonces $(f^*,f_*,f^!)$ es una secuencia de funtores adyacentes. Si además, $f$ tiene una dimensión Tor finita, entonces $f^!(F) \cong f^* (F)\otimes f^!(O_Y)$ . Si además el complejo dualizador relativo $f^!(O_Y)$ es una gavilla invertible, entonces el functor $T$ de tensores con $f^!(O_Y)$ es una autoequivalencia, por lo que tenemos una secuencia infinita de funtores adjuntos $$ (\dots,T^{-1}\circ f^*,f_*\circ T,f^*,f_*,T\circ f^*,f_*\circ T^{-1},T^2\circ f^*,f_*\circ T^{-2},\dots). $$ Lo mismo ocurre con un par arbitrario de funtores adyacentes entre categorías que tienen funtores de Serre.

Answer 4

Una bonita de la teoría de la representación de $p$ -grupos reductores de la adicción:

Dejemos que $k$ sea una extensión finita de $Q_p$ . Sea $G$ sea el $k$ -de un grupo reductor conectado sobre $k$ . No distinguimos entre grupos algebraicos sobre $k$ y su $k$ -puntos en lo que sigue. Sea $P$ sea una parabólica $k$ -subgrupo de $G$ . Sea $M$ sea un subgrupo de Levi de $P$ y $N$ el radical unipotente de $P$ Así que $P = MN$ . Sea $Q$ sea la parábola opuesta a $P$ para que $Q \cap P = M$ . Sea $U$ sea el radical unipotente de $Q$ Así que $Q = MU$ .

Dejemos que $Rep(G)$ y $Rep(M)$ denotan las categorías de representaciones suaves de $G$ y $M$ respectivamente.

Dejemos que $R_P^G$ (respectivamente $R_Q^G$ ) denotan la restricción de Jacquet de $Rep(G)$ a $Rep(M)$ , tomando una representación $V$ de $G$ a su $N$ -coinvariantes $V_N$ (resp. $U$ -coinvariantes $V_U$ ), visto como una representación de $M$ .

Dejemos que $I_P^G$ (respectivamente $I_Q^G$ ) denotan la inducción de Jacquet, de $Rep(M)$ a $Rep(G)$ definido por la extensión de una representación de $M$ a $P$ (resp. $Q$ ), para luego inducirla suavemente.

Entonces existen las siguientes adyacencias, para $V$ un suave rep de $G$ y $W$ un suave rep de $M$ : $$Hom_M(R_P^G(V), W) \cong Hom_G(V, I_P^G(W)).$$ $$Hom_G(I_P^G(W), V) \cong Hom_M(W, R_Q^G(V)).$$ $$Hom_M(R_Q^G(V), W) \cong Hom_G(V, I_Q^G(W)).$$ $$Hom_G(I_Q^G(W), V) \cong Hom_M(W, R_P^G(V)).$$

La secuencia cíclica de funtores es: $$R_P^G, I_P^G, R_Q^G, I_Q^G.$$ Las adyacencias de la segunda y la cuarta provienen del "Segundo Teorema de Adecuación" de Bernstein, ¡un resultado muy poco trivial!

Answer 5

Hay algunas respuestas muy buenas aquí. Aquí hay otra contribución.

Sea [n] el conjunto totalmente ordenado de (n+1) elementos, considerado como una categoría. Para cada número entero positivo n, tenemos las habituales n+1 inyecciones preservadoras del orden de [n-1] a [n], y las habituales n suryecciones preservadoras del orden de [n] a [n-1]. (Me refiero a las que se usan todo el tiempo para cualquier cosa simplicial.) Cuando se las considera como funtores, estas inyecciones y proyecciones se intercalan para formar una cadena adyacente de longitud 2n.