¿Existen clases de conjugación "reales" y "cuaterniónicas" en los grupos finitos?

Question

Los irreps complejos de un grupo finito son de tres tipos: autoduales por una forma simétrica, autodual por una forma simpléctica, y no autodual en absoluto. En los dos primeros casos, el carácter es de valor real, y en el tercero es a veces sólo de valor complejo. Los casos pueden distinguirse por el valor del indicador de Schur $\frac{1}{|G|} \sum_g \chi(g^2)$ , necesariamente $1$ , $-1$ o $0$ . Corresponden a los casos en que la representación es la complejización de una real, la versión olvidada versión de una representación cuaterniónica, o ninguna de las dos.

Una clase de conjugación $[g]$ se denomina "real" si todos los caracteres toman real en él, o de forma equivalente, si $g\sim g^{-1}$ . Recuerdo vagamente el número de clases de conjugación reales es igual al número de irreps reales.

1. ¿Lo recuerdo correctamente?

2. ¿Se pueden dividir las clases de conjugación reales en dos tipos? ¿"simétricas" frente a "simplécticas"?

Con el número 1 ahora concedido, un criterio para una "buena respuesta" sería que el número de clases de conjugación reales simétricas debería ser igual al número de irreps simétricamente autoduales.

(No tengo ninguna aplicación en mente; simplemente me ha molestado de vez en cuando durante mucho tiempo).

Answer 1

Es una gran pregunta. Decepcionantemente, creo que la respuesta a (2) es No :

La única restricción a una `buena' división en clases de conjugación "simétricas" vs. "simplécticas" que puedo ver es que debe ser intrínseca, dependiendo sólo de $G$ y la clase hasta el isomorfismo. (No querrás dividir las clases autoduales al azar, ¿verdad?) Esto significa que la división debe ser preservada por todos los automorfismos externos de $G$ y esto es lo que usaré para construir un contraejemplo. Hazme saber si me he equivocado.

El grupo

Mi $G$ es $C_{11}\rtimes (C_4\times C_2\times C_2)$ con $C_2\times C_2\times C_2$ actuando trivialmente sobre $C_{11}=\langle x\rangle$ y el generador de $C_4$ actuando por $x\mapsto x^{-1}$ . En Magma, esto es G:=SmallGroup(176,35), y tiene un enorme grupo de automorfismos externos $C_5\times((C_2\times C_2\times C_2)\rtimes S_4)$ , OuterFPGroup(AutomorphismGroup(G)) de Magma. La razón para $C_5$ es que $x$ sólo es conjugado con $x,x^{-1}$ en $C_{11}\triangleleft G$ pero hay 5 pares de generadores posibles así en $C_{11}$ no se distinguen entre sí; el otro factor de $Out\ G$ es $Aut(C_2\times C_2\times C_4)$ Todos estos tipos se desplazan con la acción.

Las representaciones

El grupo tiene 28 representaciones ortogonales, 20 simplécticas y 8 no autoduales, según Magma.

Las clases de conjugación

Hay 1+7+8+5+35=56 clases de conjugación, de elementos de orden 1,2,4,11,22 respectivamente. Los elementos de orden 4 no son (claramente) conjugados con sus inversos, por lo que estas 8 clases dan cuenta de las 8 representaciones no autoduales. Nos interesa dividir las otras 48 clases en dos grupos, 28 "ortogonales" y 20 "simplécticas".

El truco

El problema es que la forma $Out\ G$ actúa sobre las 35 clases de elementos de orden 22, tiene dos órbitas según Magma - una con 30 clases y otra con 5. (Creo que puedo ver que estos números deben ser múltiplos de 5 sin la ayuda de Magma, pero no veo la división completa en este momento; puedo insertar el código de Magma si lo quieren). De todos modos, si estoy en lo cierto, estas 30 clases son indistinguibles entre sí, por lo que todas deben ser "ortogonales" o "simplécticas". Así que no puede existir una división canónica en 28 y 20.

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Editar : Sin embargo, como señala Jack Schmidt (véase el comentario más abajo), es es ¡posible predecir el número de representaciones simplécticas para este grupo!

Answer 2

Un refuerzo estándar de "elemento real" es "elemento fuertemente real". Un elemento es fuertemente real si es conjugado con su inverso por una involución o, de forma equivalente, si es un producto de involuciones (de forma equivalente, se encuentra bien dentro de un grupo diédrico).

El grupo de cuaterniones de orden 8 muestra que este fortalecimiento es distinto: el único elemento fuertemente real es la identidad, pero Q8 tiene 4 representaciones con indicador de Frobenius-Schur +1.

Sin embargo, en:

Gow, R. "Caracteres de grupos reales y 2 racionales". J. Algebra 61 (1979), nº 2, 388-413 MR 2222410 DOI: 10.1016/0021-8693(79)90288-6

se dan algunas desigualdades que relacionan las dos ideas, así como algunos resultados razonablemente sólidos. Si los subgrupos Sylow 2 son diédricos o semidédricos suficientemente grandes, entonces existe una representación cuaterniónica si existe un elemento no fuertemente real pero real de orden impar (los teoremas están repartidos en el artículo). En el caso de un grupo 2-nilpotente (la última sección) se dan relaciones más precisas, siendo el número de representaciones cuaterniónicas una mezcla del número de elementos fuerte y débilmente reales.

Cuidado con querer generalizar demasiado el caso real. Un carácter F-racional es un carácter C-irreducible cuyos valores están en F. Un elemento F-racional es un elemento conjugado a las potencias correctas dado el grupo de Galois (ciclotómico) de C/F. En los grupos p para impar p, las clases F-racionales son 1-1 con caracteres F-racionales, pero no en general para grupos 2 o grupos de orden impar.