¿Es la siguiente función Gâteaux-diferenciable

Question

Como dije en el encabezado, quiero saber si esta función tiene una derivada de Gâteaux (o al menos una derivada de Newton):

\begin{align*} f\colon L^2(\Omega) &\to L^2(\Omega) \\ v &\mapsto \begin{cases} v(x), \text{ if } |v(x)| < 1 \\ \frac{v(x)}{|v(x)|}, \text{else} \end{cases} \end{align*}

Aquí $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es acotada y Lipschitz. No tengo ni idea de cómo empezar...

Answer 1

Puedes definir tu mapa para cualquier espacio de Banach, y nunca será diferenciable. Sea $\nu$ sea un vector de norma uno, considere la trayectoria suave $\gamma(t) = t\,\nu$ . Entonces $f(\gamma(t))= \nu\cdot\min(1,t) $ para $t≥0$ . En $t=1$ lo habrías hecho:

$$d_{\gamma}f\lvert_{t=1} =\nu\lim_{h\to0} \frac{\min(1,1+h)-1}{h}$$ ¡que no existe!

Answer 2

Usted tiene $f(v)(x) = \sigma(v(x))$ donde $\sigma(y) = {1 \over \max(1,\|y\| )} y$ .

Entonces $f$ tiene una derivada de Gâteaux en $v$ si el conjunto $E=\{ x \in \Omega | \|v(x)\| = 1 \}$ tiene medida cero.

Tenga en cuenta que $\sigma(y)$ es la proyección del punto $y$ en el bola unitaria cerrada y es Lipschitz con rango uno. En particular, tenemos tenemos $\| {f(v+th)(x)-f(v)(x) \over t} \| \le \|h(x)\|$

Tenga en cuenta que si $\|y\| <1$ entonces $D\sigma(y)\delta = \delta$ y si $\|y\| >1$ entonces $D \sigma(y)\delta = ({1 \over \|y\|}I-{1 \over \|y\|^3} y y^T)\delta$ .

Si $E$ tiene medida cero, entonces elige alguna dirección $h$ . Vemos que ${f(v+th)(x)-f(v)(x) \over t} \to D \sigma(u(x)) h(x)$ para todos $x \notin E$ . Una pequeña convergencia dominada muestra que $d f(u, h) (x)= D \sigma(u(x)) h(x)$ para ae. $x$ .

Si $E$ tiene una medida estrictamente positiva, entonces elige $h$ definido por $h(x) = 1_E(x) u(x)$ . Para $t >0$ tenemos ${f(v+th)(x)-f(v)(x) \over t} = 0$ y para $t <0$ (y $t <-1$ ) tenemos ${f(v+th)(x)-f(v)(x) \over t} = h(x)$ . Por lo tanto, $\lim_{t \uparrow 0} {f(v+th)-f(v) \over t} = h$ y $\lim_{t \downarrow 0} {f(v+th)-f(v) \over t} = 0$ de lo que se deduce que la derivada de Gâteaux no existe.