Soy un estudiante de posgrado, de modo que es cierto que tienen una perspectiva limitada sobre esto ahora mismo, pero como alguien que está interesado en álgebra, te voy a contar lo que he notado acerca de "el graduado" o "investigación" nivel de álgebra. Además, yo no sé mucho acerca de las aplicaciones del "mundo real" ahora, así que no me voy a centrar en eso, sino más bien a otras áreas de las matemáticas puras.
Como se señaló en los comentarios, hay muchas y diferentes áreas de álgebra. He descubierto que más allá de un primer curso de año en el álgebra, la mayoría de las áreas de álgebra parecen estar diseñados para tener aplicaciones en otros temas. Por ejemplo, el álgebra conmutativa fue desarrollado para ayudar a dar a la geometría algebraica de un riguroso fundación, y debido a que las aplicaciones de la teoría de números. La teoría de representaciones de álgebras de Lie es de interés porque directamente ayuda a entender Mentira grupos. Álgebra homológica fue desarrollada debido a que se aplica a la topología, derivados de functors fueron desarrollados en parte para dar un valor adecuado a las cosas como gavilla cohomology, etc.
En general muchas de las definiciones y los conceptos estudiados en la moderna álgebra fueron diseñados para tener aplicaciones directas a otras áreas de las matemáticas, especialmente la geometría y la topología. De hecho, mucha de las veces usted se encontrará con nociones que son directamente algebraica de las abstracciones de las nociones de encontrar en otros campos. Por esta razón recomiendo conseguir un fondo general en matemáticas, especialmente la geometría, si usted quiere hacer el álgebra. Para mí, el álgebra se siente mucho más motivados de esa manera.
He decidido no hacer pura álgebra porque sentía que si la "razón" que la gente está haciendo algo de esto álgebra proviene de la geometría, quería aprender la geometría demasiado para que yo pudiera entender la motivación mejor. Por supuesto, usted no puede sentir de la misma manera y deciden hacer pura álgebra. Te recomiendo buscar en algunas de las principales áreas de investigación en álgebra y de preguntar o leer sobre sus aplicaciones. He mencionado algunas de las que he encontrado son importantes.
