Descomposición de Fourier del conjunto de Mandelbrot

Question

No está claro que el límite del conjunto de Mandelbrot es una curva analítica, aunque esté conectada. Sin embargo, podemos aproximar el límite con una curva iterando un número finito de puntos a una resolución dada $r$ y parametrizar una curva a partir de ella

$$ f_r(t) = \frac{1}{L} (x(t) + iy(t)) $$

donde $L$ se elige de forma que $t$ va de 0 a 1. Supongamos por el momento que $\lim_{r \rightarrow \infty} f_r(t) = M(t)$ es el límite del conjunto de Mandelbrot. ¿Cuáles son los coeficientes de la representación armónica de $M$ ?

$$ \begin{align} M(t) &= \sum_{m=-\infty}^\infty a_m \exp(2\pi imt) \\ a_m &= \int_0^1 \exp(-2\pi mt) M(t) dt \end{align} $$

Answer 1

El límite del conjunto de Mandelbrot no es en absoluto una curva analítica. Sin embargo, los coeficientes del mapa conforme del exterior del disco unitario al exterior del conjunto de Mandelbrot pueden calcularse recursivamente, basándose en los resultados de Douady y Hubbard. Ewing y Schober calcularon los primeros 240.000 coeficientes y los utilizaron para estimar el área del conjunto de Mandelbrot: http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01385497