Dos ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas

Question

Tengo dos ecuaciones acopladas de la forma

$$f''(x) + g'(x) + f(x) = 0$$ $$g''(x) + f'(x) + g(x) = 0$$

Mirando el formulario, puedo adivinar una relación de la forma $g(x) = \lambda f(x)$ . donde $\lambda$ es alguna constante. Puedo encontrar la constante sustituyendo $g(x)$ en las ecuaciones anteriores y comparando los coeficientes de cada derivada. Finalmente me queda una única ecuación que es fácilmente resoluble.

La pregunta es: ¿es legal este procedimiento? y ¿la solución que obtengo es la más general?

Gracias

Answer 1

Sugerencia

Hacer un sustituto $$ f' = p \\ g' = q $$ entonces se obtiene un sistema \begin{align} f' &= p \\ g' &= q \\ p' &= -f - q \\ q' &= -g - p \end{align} o en forma de matriz $$ \left[ \begin{array}{c} f \\ g \\ p \\ q \end{array}\right ]' = \left [ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right ] \cdot \left[ \begin{array}{c} f \\ g \\ p \\ q \end{array}\right ] $$ que está en forma de $$ \mathbf y' = \mathbf A \cdot \mathbf y $$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

Configurar $$ u=f+g,\quad v=f-g, $$ tenemos $$\tag{1} \left\{ \begin{array}{lcl} u''+u'+u&=&0\\ v''-v'+v&=&0 \end{array}\right.. $$ Las soluciones de las ecuaciones primera y segunda de (1) vienen dadas respectivamente por \begin{eqnarray} u(x)&=&e^{-\frac{x}{2}}\left[a_1\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+a_2\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right],\\ v(x)&=&e^{\frac{x}{2}}\left[b_1\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+b_2\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\right], \end{eqnarray} donde $a_1,a_2,b_1,b_2$ son constantes reales.

Desde $$ f=\frac{u+v}{2},\quad g=\frac{u-v}{2}, $$ deducimos que \begin{eqnarray}\ f(x)&=&\frac12\left(a_1e^{-\frac{x}{2}}+b_1e^{\frac{x}{2}}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+\frac12\left(a_2e^{-\frac{x}{2}}+b_2e^{\frac{x}{2}}\right)\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right),\\ g(x)&=&\frac12\left(a_1e^{-\frac{x}{2}}-b_1e^{\frac{x}{2}}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)+\frac12\left(a_2e^{-\frac{x}{2}}-b_2e^{\frac{x}{2}}\right)\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right). \end{eqnarray}

Answer 3

Respuesta numérica :

Teniendo en cuenta el IC $f(0)$ , $f'(0)$ , $g(0)$ , $g'(0)$ obtenemos las aproximaciones $$ f_n= 2f_{n-1} -f_{n-2} - dx^2\{ g'_{n-1}+f_{n-1} \} ,~~ n=2,3,4...\\ g_n= 2g_{n-1} -g_{n-2} - dx^2\{f'_{n-1}+g_{n-1} \} ,~~ n=2,3,4... $$ donde $$ f'_{n-1} = ( f_{n-1}-f_{n-2} )/dx\\ g'_{n-1} = ( g_{n-1}-g_{n-2} )/dx $$