Subgrupo demostrativo de $SO(2)$ con $n$ ¿los elementos son únicos?

Question

Estaba pensando en tomar dos subgrupos con $n$ elementos y demostrando que ambos son el mismo subgrupo.

Sé que si $M$ ( $2\times2$ ) es cualquier elemento de $SO(2)$ , $M^{-1} = M^t$ . Y $\det M =1$ .

No sé cómo proceder.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Puedes pensar en $\mathrm{SO}(2)$ como el círculo unitario bajo la multiplicación compleja. Por lo tanto, para cualquier punto $g_i$ en tu grupo, obtienes un número real $t_i$ tal que $e^{it_i}=g_i$ . En otras palabras, considera este mapa:

$$\varphi: (\mathbb{R},+) \to (\mathbb{C}^{\times},\cdot)\cong\mathrm{SO}(2)$$

donde $\mathbb{C}^{\times}$ es el círculo unitario en el plano. Se trata de un epimorfismo de grupos, es decir, es suryente y es un homomorfismo.

Ahora bien, como su subgrupo de $\mathrm{SO}(2)$ es finito, toma $g_i$ para ser el elemento con el menor $|t_i|$ en $\mathbb{R}$ . En otras palabras:

$$g_i = \varphi(\min\{t_j\in [0,2\pi): t_j=\varphi^{-1}(\{g_j\}) \})$$ Demostrar que $g_i$ genera su grupo. La prueba es similar a cuando se quiere demostrar que cualquier subgrupo de $\mathbb{Z}$ es generado por un $m \in \mathbb{Z}$ .

Una vez que haya demostrado que su subgrupo es generado por $g_i$ y por tanto es cíclico, nótese que dos grupos cíclicos cualesquiera del mismo orden son isomorfos. Y así termina la prueba.