Tenga en cuenta que
$$
\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}e^{como}ds = \frac{\sinh(a)}{a}e^{ax}.
$$
Deje $a+ib \in \mathbb{C}$ ser un no-cero raíz de $\sinh(z)=z$. A continuación, también se $a-ib$ es una raíz y debido a que el MVP es lineal la función de $f(x) = e^{ax}\cos(bx)$ tiene el valor medio de la propiedad.
Queda por demostrar que $\sinh(z)-z$ tiene un no-cero raíces. Os presento dos de las pruebas a continuación. La segunda (la que me dio la primera) es un poco torpe, pero tiene la ventaja de que da un poco de información acerca de la distribución de las raíces.
Prueba 1: Vamos A $f(z) = \sinh(z)-z$. A continuación, $f$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$. Por Picard del gran teorema de la función $f$ alcanza todos los valores infinitamente a menudo con una excepción. En particular, al menos uno de $0$ $2\pi i$ debe ser alcanzado infinitamente a menudo. Sin embargo, $f(z + 2\pi i) = f(z) - 2\pi i$, por lo que ambos casos implica que el $f$ tiene una infinidad de raíces.
Prueba 2: te voy a mostrar que $|\sinh(z)|=|z|$ mantiene a lo largo de algunos curva en $\mathbb{C}$ se extiende a $\infty$ y $\sinh(z)/z$ debe viento alrededor de la unidad círculo infinitamente a menudo a lo largo de esta curva.
Si $z=x+iy$ $2|\sinh(z)|^2 = \cosh(2x)-\cos(2y)$ $|\sinh(z)| = |z|$ exactamente si $\cosh(2x)-2x^2=\cos(2y)+2y^2$. Demostrar que para cada una de las $x$ no es un porcentaje ($y$ que satisface esta ecuación define las siguientes funciones:
$$
f(x) = \cosh(2x)-2x^2, \ g(x) = \cos(2x)+2x^2.
$$
En $\mathbb{R}_{>0}$ ambas funciones son estrictamente creciente y $f(x) > g(x)$. (La última desigualdad se puede comprobar a partir de su poder de la serie). En particular, para cada una de las $x>0$ existe un único $y>x$ tal que $f(x) = g(y)$. Deje $\tau: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{C}$ ser la curva de $\tau: x \mapsto x+iy$,$|\tau'(x)| \geq 1$$|\sinh(\tau)| = |\tau|$. Por lo que la curva
$$
x \mapsto \frac{\sinh(\tau)}{\tau}
$$
los mapas en el círculo unidad. Si podemos enlazado sus derivados desde abajo, entonces debe de viento alrededor del círculo unidad (y por lo tanto pasan a través de $1$) infinidad de veces. Que este es el caso de la siguiente manera a partir de las siguientes desigualdades:
$$
\left|\frac{\partial}{\partial x}\frac{\sinh(\tau)}{\tau}\right| \geq \left| \frac{\cosh(\tau)}{\tau} - \frac{\sinh(\tau)}{\tau^2} \right| \geq \left| \frac{\sqrt{\left| |\tau|^2-1 \right|}}{|\tau|} - \frac{1}{|\tau|} \right| \xrightarrow{x \rightarrow \infty} 1
$$
Esto demuestra que $\sinh(\tau) = \tau$ se produce una infinidad de veces. Por otra parte, todas las soluciones de $\sinh(z) = z$ $\Re(z)>0$ $\Im(z) >0$ mentira en $\tau$.
