Dejemos que $(X, \mathcal{A}, \mu)$ ser un $\sigma$ -espacio de medida finita, y que $f: X \to \mathbb{R}$ ser medible. Entonces, $\Gamma(f)$ el gráfico de $f$ definido como
$$\Gamma = \{(x,y) \in X \times \mathbb{R}: f(x) = y\}$$
es medible en el $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A \times L}$ donde $(\mathbb{R},\mathcal{L},m)$ es el espacio de medidas compuesto por el Lebesgue $\sigma$ -Álgebra ( $\mathcal{L}$ ) en $\mathbb{R}$ y la medida de Lebesgue $m$ .
Además, demuestre que la medida del producto es $0$ .
Para la primera parte, estoy tratando de encontrar el rectángulo medible para demostrar que esto es medible en el producto álgebra sigma.
Sé que $\Gamma = X \times \{f(x)\}$
$X \in \mathcal{A}$ trivialmente. Además, es la razón por la que $\{f(x)\} \in \mathcal{L}$ el hecho de que $f$ ¿es medible? Sé que $f$ ser medible significa que
$$\{x:f(x) > a\} \in \mathcal{A} \ \ \forall a \in \mathbb{R}$$
¿Cómo se traduce esto en $\{f(x)\}$ siendo medible en $\mathcal{L}$ ?
Además, suponiendo que esto se demuestre. Sea $\chi_A$ sea la función indicadora de algún conjunto $A$ .
Tenemos que la medida de $\Gamma$ por definición es
$$(\mu \times m) (\Gamma)=\int_\Gamma \mathrm{d}(\mu \times m) = \int_{X\times\mathbb{R}} \chi_\Gamma ((x,y)) \mathrm{d}(\mu \times m)$$
y como la función indicadora es, por definición, no negativa, podemos utilizar el teorema de Fubini para obtener
$$(\mu \times m)(\Gamma)=\int_X\int_\mathbb{R} \chi_{\{(x,y):f(x)=y\}} ((x,y)) \mathrm{d}m \mathrm{d}\mu$$ Pero aquí no tengo ni idea de cómo hacer la primera integral o cómo proceder en general a partir de aquí.
¡Muchas gracias!
