Demostrar que dos conjuntos son iguales

Question

Tengo que demostrar que $(A \Delta B ) \Delta C = A \Delta (B\Delta C)$ para cualquier conjunto A,B,C, y $A \Delta B = (A-B)\cup(B-A)$ .

Intenté expandir tanto la expresión de la izquierda como la de la derecha, y después de eso mi expresión estaba compuesta sólo por la proposición de muestra ( $x \in A / x\in B/x\in C\ x\notin A\ x\notin B $ o $ x \notin C $ ) y luego demostrarlo mediante una tabla de verdad. Mi problema es que la tabla de verdad no me permite demostrar que la expresión es una tautología.

Answer 1

Creo que es la forma más fácil de demostrarlo utilizando funciones características:

Desde $$\chi_{A \Delta B}=\chi_A+\chi_B\mod 2,$$ que tenemos: $$\chi_{(A \Delta B)\Delta C}=\chi_{(A \Delta B)}+\chi_C\mod 2=(\chi_A+\chi_B)+\chi_C\mod 2=\chi_A+(\chi_B+\chi_C)\mod 2=\chi_A+\chi_{B \Delta C}\mod 2=\chi_{A \Delta (B\Delta C)}.$$

Answer 2

Por definición $$ x\in A\bigtriangleup B\iff (x\in A \land x\notin B) \lor(x\in B \land x\notin A)\tag1 $$ $$ x\in B\bigtriangleup C\iff (x\in B \land x\notin C) \lor(x\in C \land x\notin B)\tag2 $$ Por lo tanto, \begin{align} x\notin A\bigtriangleup B&\iff (x\notin A \lor x\in B) \land (x\notin B \lor x\in A) \\ &\iff (x\notin A \land x\notin B) \lor (x\notin A \land x\in A) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\in B \land x\notin B) \lor (x\in B \land x\in A) \\ &\iff (x\notin A \land x\notin B) \lor 0 \lor 0 \lor (x\in B \land x\in A) \\ &\iff (x\notin A \land x\notin B) \lor (x\in B \land x\in A)\tag3 \end{align} Y \begin{align} x\notin B\bigtriangleup C&\iff (x\notin B \lor x\in C) \land (x\notin C \lor x\in B) \\ &\iff (x\notin B \land x\notin C) \lor (x\notin B \land x\in B) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\in C \land x\notin C) \lor (x\in C \land x\in B) \\ &\iff (x\notin B \land x\notin C) \lor 0 \lor 0 \lor (x\in C \land x\in B) \\ &\iff (x\notin B \land x\notin C) \lor (x\in C \land x\in B)\tag4 \end{align} Así, \begin{align} x\in (A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C &\iff (x\in A\bigtriangleup B \land x\notin C) \lor (x\in C \land x\notin A\bigtriangleup B) \\ &\iff (((x\in A \land x\notin B) \lor(x\in B \land x\notin A))\land x\notin C) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\in C \land ((x\notin A \land x\notin B) \lor (x\in B \land x\in A)))\tag{by (1),(3)} \\ &\iff (x\in A \land x\notin B \land x\notin C) \lor (x\notin A \land x\in B \land x\notin C) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\notin A \land x\notin B \land x\in C) \lor (x\in A \land x\in B \land x\in C)\tag5 \end{align} Y \begin{align} x\in A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C) &\iff (x\in A \land x\notin B\bigtriangleup C) \lor (x\notin A \land x\in B\bigtriangleup C) \\ &\iff ((x\in A \land ((x\notin B \land x\notin C) \lor (x\in B \land x\in C))) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\notin A \land ((x\in B \land x\notin C) \lor(x\in C \land x\notin B)))\tag{by (2),(4)} \\ &\iff (x\in A \land x\notin B \land x\notin C) \lor (x\in A \land x\in B \land x\in C) \\ &\quad\quad\quad\lor (x\notin A \land x\in B \land x\notin C) \lor (x\notin A \land x\notin B \land x\in C)\tag6 \end{align} Por $(5)$ y $(6)$ $$ x\in (A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C\iff x\in A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C) $$ Por lo tanto, $$ (A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C=A\bigtriangleup (B\bigtriangleup C) $$