$f_n → f$ uniformemente en $S$ y cada $f_n$ es cont en $S$ . Sea $(x_n)$ sea una secuencia de puntos en $S$ convergiendo a $x \in S$ . Entonces $f_n(x_n) → f(x)$ .

Question

Supongamos que $f_n f$ uniformemente en $S$ y cada $f_n$ es continua en $S$ . Sea $(x_n)$ sea una secuencia de puntos en $S$ convergiendo a $x \in S$ . Entonces $f_n(x_n) f(x)$ .

Me he quedado pensando en ello y no consigo demostrarlo ni encontrar un contraejemplo. Gracias por su ayuda.

Answer 1

El "truco" habitual funciona bien aquí :

$$\| f_n(x_n) - f(x) \| = \| f_n(x_n) - f(x_n) + f(x_n) - f(x) \|$$

$$ \leq \| f_n(x_n) - f(x_n) \| + \| f(x_n) - f(x) \| $$

$$ \leq \underbrace{\| f_n - f \|_{\infty}}_{A_n} + \underbrace{\| f(x_n) - f(x) \|}_{B_n} $$

Y

• $A_n$ convergen a $0$ por convergencia uniforme de $f_n$ a $f$
• $B_n$ convergen a $0$ por la continuidad de $f$

Ten en cuenta que he supuesto que ya sabías que el límite uniforme de una función continua es continuo