Integrales iguales con Fubini

Question

Intenté demostrar que $$\iint_{\Bbb{R^2}} f\left(x^3+x,{\frac{y}{3x^2+1}}\right) \, d(x,y) = \iint_{\Bbb{R^2}} f(x,y) \, d(x,y)$$ para $f$ Función lipschitz/integrable.

Sé que se puede demostrar con el teorema de Fubini y $$\int_{\Bbb{R}} \int_{\Bbb{R}} f\left(x^3+x,{\frac{y}{3x^2+1}}\right) \, dx\,dy, \qquad \left[t=x^3+x, dt= 3x^2+1 \vphantom{\frac 1 1} \right]_\text{change-of-variables} $$ pero no estoy seguro de cómo continuar desde aquí.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Utilizando la sustitución $(x,y) \mapsto \left(t=x^3 + x, u=\frac{y}{3x^2+1}\right)$ obtenemos que el jacobiano de la transformación viene dado por $$ J= \begin{pmatrix} 3x^2+1 & 0 \\ -\frac{y(6x+1)}{(3x^2+1)^2} & \frac{1}{3x^2+1} \end{pmatrix}, $$ cuyo determinante es simplemente $1$ . Entonces, (utilizando el teorema de Fubini al principio y al final) tenemos \begin{align} \iint_{\Bbb{R^2}} f\left(x^3+x,{\frac{y}{3x^2+1}}\right) \, d(x,y) & = \int_{\Bbb{R}} f\left(x^3+x,{\frac{y}{3x^2+1}}\right) \, dx\,dy = \\ & =\int_{\mathbb R} \int_{\mathbb R} f(t, u) |\det J| \,dt\,du = \\ & = \iint_{\mathbb R^2} f(t, u) \,d(t,u). \end{align}