Demostrar que el polinomio $p$ existe con $degree< \operatorname{dim}V$

Question

Mi pregunta se refiere a un antiguo post del sitio, a saber:

$T$ es normal si y sólo si existe el polinomio $p$ s.t $T^{*}=p(T)$

Mi pregunta es : ¿Cómo se demuestra que dicho polinomio tiene $\deg< \dim V$ ? Me parece raro que el polinomio no pueda tener grado igual a $\dim V.$

Answer 1

Si $T$ es normal en un espacio de producto interno complejo $X$ de dimensión finita $N$ entonces $T$ tiene una base ortonormal de vectores propios, que también debe ser una base de vectores propios para $T^*$ porque $$\|(T-\lambda I)x\|=\|(T^*-\overline{\lambda}I)x\|,\;\;\; x\in V,\;\lambda\in\mathbb{C}.$$ Si $\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$ es el conjunto de valores propios distintos de $T$ entonces $$P_j = \frac{1}{\Pi_{k\ne j}(\lambda_j-\lambda_k)}\Pi_{k\ne j}(T-\lambda_k I)$$ es la proyección ortogonal sobre $\mathcal{N}(T-\lambda_j I)=\mathcal{N}(T^*-\overline{\lambda_j}I)$ . Por lo tanto, $$T=\sum_{j}\lambda_j P_j,\;\;\; T^*=\sum_{j}\overline{\lambda_j}P_j.$$ En particular, $T^*$ es un polinomio en $T$ . (Igualmente, $T$ es un polinomio en $T^*$ .) El orden del polinomio es menor que $N=\dim(X)$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que si $T$ es nilotente, no hay nada que hacer como $T=\mathbf 0$ . Supongamos ahora que $T\neq \mathbf 0$ .
Además, suponga que tiene $d\geq n$ et
$p\big(T\big) = a_0 I + a_1 T + .... +a_{n-1}T^{n-1}+ a_nT^n + ... + a_dT^d$

por Caley Hamilton $T^n$ puede escribirse como una combinación lineal de $\{I, T,...,T^{n-1}\}$ y por lo tanto puede $T^{n+1}$ , ...., y así puede $T^d$

para poder reescribir $p$ tener grado $\leq n-1$ .