Demostrar que la función es convexa

Question

Dejemos que $f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb R$ sea continua y convexa.

Dejemos que $m \colon [a,b] \rightarrow \mathbb R$ y $m(x) = \max \left\{f(y): y \in [a,x] \right\}$ . Demostrar que $m$ es convexo

No tengo ni idea de cómo empezar la prueba. ¿Tiene alguna pista?

Answer 1

*Lo que había escrito primero requería diferenciabilidad me disculpo. Es la misma idea aunque bastante poco elegante en esta forma. Gracias Vim por señalar mi error.

Primero hay que entender por qué la definición de una función convexa significa que su gráfica entre dos puntos cualesquiera $[c,d]$ está por debajo de la línea que pasa por esos dos puntos.

Observe que $f$ no puede disminuir después de haber aumentado. Si $f$ es convexo en un intervalo [c,d] si $max \{ f(x) \ | \ x\in [c,d]\}=f(x_m)$ para $c<x_m<d$ dejar $c<x_l<x_m<x_r<d$ . Entonces la línea a través de $x_l$ y $x_r$ se encuentra debajo $f(x)$ .

Esto significa que si $f(x)$ es una función creciente en cualquier intervalo $[a,u]$ es una función creciente en todo el dominio $[a,b]$ .

CASO 1: Si $f(x)$ es una función creciente $m(x)=f(x)$ .

CASO 2: Si $f(x)$ es una función decreciente en un intervalo $[a,u]$ tenemos dos subcasos.

2.1 Si $f(a)=max\{ f(x) \ | \ x\in[a,b]\}$ entonces $m(x)=f(a)=const$ . Por lo tanto, es convexo.

2.2 Hay un punto $x_a\in [a,b)$ tal que f(x_a)=f(a).

En ese caso $$m(x)=\cases{f(a)=const \ \ \ x\in [a,x_a] \\ f(x) \ \ \ \ \ x\in (x_a, b]}$$

Ahora debemos demostrar que $m(x)\leq m(c)+ (m(d)-m(c))\frac{x-c}{d-c}$ , para $x\in [a,b]$ para todos $c,d\in [a,b]$ .

Ya tenemos los casos en los que $c,d \in [a,x_a]$ o $a,b \in[x_a,b]$ .

Así que tenemos que probarlo para $c\in [a,x_a)$ y $d\in(x_a,b]$ lo cual es fácilmente obvio.

$$\forall x\in[a,x_a] \ \ m(x)=m(a)\leq m(c)+ (m(d)-m(c))\frac{x-c}{d-c}$$ $$\forall x\in(x_a,b] \ \ m(x) = f(x) \leq m(c)+ (m(d)-m(c))\frac{x-x_a}{d-x_a}\leq m(c)+ (m(d)-m(c))\frac{x-c}{d-c}$$ .

Ya que en ese intervalo $$\frac{x-x_a}{d-x_a}\leq \frac{x-c}{d-c}$$

Answer 2

Arreglar $a \leq x \leq b$ . Por Teorema 1, sección 2 , $f$ alcanza su máximo en $[a,x]$ ya sea en $a$ o en $x$ . En consecuencia, $$ m(x)=\max\{f(a),f(x)\}. $$ Ahora observa que una función constante es siempre convexa, y aplica este resultado .