Propiedades de las matrices de rotación

Question

Dejemos que $R \in SO(3)$ sea una matriz de rotación generada por la rotación alrededor del vector unitario $w$ por $\theta$ radianes. Es decir, $R$ satisface $R=e^{ˆ}$ . Nota $w$ ^ es la matriz simétrica sesgada.

¿Cómo se puede demostrar que los valores propios de $w$ ^ son $0$ , $i$ y $-i$ , donde $i = \sqrt{-1}$ ?

Answer 1

Si se eligen las coordenadas de forma que $\omega=e_3$ , entonces para la matriz de inclinación encontrarás $$\eqalign{ &\Omega = \begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\cr &\Omega e_1 = -e_2\cr &\Omega e_2 = -e_1\cr &\Omega e_3 = 0 }$$ Para $k=3$ el valor propio es claramente cero.

Para los otros dos vectores de base, las combinaciones $a_\pm=(e_1\pm ie_2)\,$ satisfacer $$\,{\Omega a_\pm = \pm ia_\pm}$$