Si un sub-anillo de un anillo R tiene identidad, No R también tiene la identidad?

Question

Sé que no tiene sentido que si un sub-anillo de un anillo R es conmutativo, entonces R es también conmutativa. (Por ejemplo, el conjunto formado por las matrices cuyos todas las entradas excepto (1,1)-entrada son cero, es un sub-anillo de anillo de 2x2 real de las matrices )

Yo también considera el caso de un anillo que contiene un sub-anillo con identidad, pero yo no tenía ideas. Tal parece que la dosis no tiene sentido, tampoco.

Que me dicen algunos ejemplos apoyando mi conjetura?

Answer 1

$0*0=0$. El conjunto {0} es un sub-anillo de cualquier anillo y en la que 0 es la identidad.

Answer 2

Deje $\mathbb R^{(\left\{1,2,3,...\right\})}$ ser el sub-anillo de $\mathbb R^{\left\{1,2,3,...\right\}}$ que consta de todos los $\left(a_1,a_2,a_3,...\right)$ tal que todos, pero un número finito de $i\in\left\{1,2,3,...\right\}$ satisfacer $a_i = 0$. A continuación, $\mathbb R^{(\left\{1,2,3,...\right\})}$ es (estrictamente) nonunital anillo, pero su sub-anillo formado por todos los $\left(a_1,a_2,a_3,...\right)$ de manera tal que todos los $i \geq 2$ satisfacer $a_i = 0$ es unital anillo.

Answer 3

No. He aquí un contraejemplo: considere el conjunto a $R$ $3 \times 3$ matrices de la forma

$\begin{bmatrix} 2n & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c &d \end{bmatrix}, \tag{1}$

donde $n, a, b, c, d \in \Bbb Z$, $\Bbb Z$ siendo el anillo de los números enteros. Es fácil ver que $R$ es de hecho un anillo, y que el sub-anillo se caracteriza por $n = 0$ es un sub-anillo con elemento de identidad dada por la toma de $a = d = 1$$b = c = 0$. El subgrupo con $a = b = c = d = 0$ es también un sub-anillo, pero sin identidad. El anillo de $R$ no tiene (multiplicativo) de identidad. Para obtener una conmutativa ejemplo, simplemente tome $c = d = 0$. QED.

El ejemplo de arriba, obviamente, puede ser generalizado en varias direcciones, por ejemplo, podemos tomar las matrices que tienen un tamaño mayor que $3$.

Espero que esto ayude! Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 4

Deje $R=\Bbb Q\times 2\Bbb Z$: a continuación, $R$ no es unital, pero el ideal de $\Bbb Q\times\{0\}$ es unital. Por supuesto, esta construcción se generaliza a producir una gran cantidad de ejemplos de la forma $R_1\times R_0$ donde $R_1$ es unital y $R_0$ no lo es.

Más interesante es una generalización de darij grinberg la respuesta. Deje $X$ ser cualquier no-compacto cero-dimensional espacio, y dejan $R$ ser el anillo de real continua de las funciones con valores en $X$ con soporte compacto; claramente $R$ no es unital. Sin embargo, si $K$ es un compacto de abrir subconjunto de $X$, el ideal de funciones de apoyo en $K$ es unital, con una unidad de $\chi_K$. Un ejemplo de este tipo de $X$ $C\setminus\{1\}$ donde $C$ es el medio tercios conjunto de Cantor. (El $p$-ádico números son homeomórficos a este espacio.)