Series hipergeométricas con factor armónico

Question

Estoy haciendo un seguimiento de un puesto Hice hace un par de meses ya que estoy revisando este problema. Deseo una manera de aproximar la suma

$$\sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}^2 z^n}{16^n}H_n$$

para un valor determinado de $z$ . Hasta ahora, he tratado de notar que

$$H_n = \int_0^1 \frac{1-t^n}{1-t} dt$$ y distribuyendo los términos de la suma en la integral y trabajando con la función hipergeométrica. Sin embargo, estoy teniendo problemas para proceder a partir de ahí. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Según la notación de Mathematica (donde el argumento de la integral elíptica completa del primer tipo $K(x)$ se considera la elíptica módulo ) tenemos $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}^2}{16^n}\,u^n = \frac{2}{\pi}\,K(u)\tag{1}$$ por lo que es sencillo comprobar que $$ \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}^2 H_n}{16^n}\,z^n =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{K(zu)-K(z)}{u-1}\,du\tag{2}$$ y la integral en el lado derecho de $(2)$ puede aproximarse numéricamente con una precisión arbitraria aprovechando la relación entre $K$ y el $\text{AGM}$ medio. Por ejemplo, $K(x)\approx \frac{\pi}{1+\sqrt{1-x}}$ o $K(x)\approx\frac{\pi}{2(1-x)^{1/4}}$ . Series similares aparece en el cálculo de $\int_{0}^{1}K(x)\log(1-x)\,dx$ y $\int_{0}^{1}E(x)\log(1-x)\,dx$ mediante expansiones en serie de Fourier-Legendre.