$|Gal(f(x),\mathbb Q )|$ ?

Question

Dejemos que $f(x) = x^5 -7$ entonces necesito encontrar $|Gal(f(x),\mathbb Q )|$ , Puedo utilizar a Eisenstein para ver que $f(x)$ es irreductible pero el orden no lo es $5$ ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

El $f(x)$ raíces son: $$\sqrt[5]{7},\;\omega\sqrt[5]{7},\;\omega^2\sqrt[5]{7},\;\omega^3\sqrt[5]{7},\;\omega^4\sqrt[5]{7},$$ donde $\omega=e^{\frac{2\pi}{5}i}$ .

Dejemos que $\Sigma$ el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q}$ entonces \begin{equation} \Sigma=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7},\omega). \end{equation}

Del teorema de la torre tenemos \begin{equation} [\Sigma:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7},\omega):\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7})]\cdot[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7}):\mathbb{Q}]. \end{equation} Observamos que $\text{irr}(\sqrt[5]{7},\mathbb{Q})=x^5-7$ entonces $[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7}):\mathbb{Q}]=5$ .

Entonces \begin{equation} [\Sigma:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7},\omega):\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7})]\cdot 5. \end{equation} Buscamos $\text{irr}(\omega,\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7}))$ observamos que $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7},\omega)\ne\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7})$ porque cada elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7})$ es real, mientras que $\omega$ es un número complejo.

Ahora, $\text{irr}(\omega,\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7}))=x^4+x^3+x^2+x+1$ entonces \begin{equation} |Gal(\Sigma:\mathbb{Q})|=[\Sigma:\mathbb{Q}]=20. \end{equation}

Answer 2

El campo de división contiene todo quinta raíz de $7$ , por lo que todos de $\exp(2\pi ik/5)\sqrt[5]7$ . El $\exp(2\pi ik/5)$ generan un ciclotómico de grado $4$ . Se deduce que el campo de división tiene grado $20$ y por lo tanto el grupo de Galois tiene orden $20$ . Al estudiar la acción de los elementos del grupo de Galois sobre $\sqrt[5]7$ y $\exp(2\pi i/5)$ es posible dilucidar su estructura.