En una determinada competición, los jugadores tienen la misma habilidad y la probabilidad es $\frac{1}{2}$ que una especificación de los dos concursantes será el vencedor. En un grupo de $2^n$ jugadores, los jugadores son emparejados contra entre sí al azar. La página web $2^{n-1}$ los ganadores son de nuevo emparejados al azar, y así sucesivamente, hasta que quede un solo ganador quede un solo ganador. Considere dos concursantes específicos, $A$ y $B$ y definir los eventos $A_i$ , $i\leq n$ , $E$ por
$A_i$ : $A$ juega exactamente en $i$ concursos:
$E$ : $A$ y $B$ nunca juegan entre sí.
Tenemos que calcular la probabilidad de $P(A_i)$ y $P(E)$ .
Aunque aquí se ha expuesto un enfoque elegantemente sencillo https://math.stackexchange.com/a/2481789/496972 pero quería saber el fallo de mi razonamiento
Mi intento
$P(A_i)$ es bastante simple. Después de cada ronda de eliminación $2^{n-i}$ los concursantes permanecen $i=\{0,1,2..n\}$ . Por simetría, todos los concursantes tienen las mismas posibilidades de llegar a la $i^{th}$ redondo. Por lo tanto, $$ P(A_i)= \dfrac{2^{n-i}}{2^n}= \left(\frac{1}{2} \right)^i $$
Si $A$ se elimina después de $i^{th}$ ronda, ha jugado contra $i+1$ jugadores. Entonces la probabilidad de no jugar $B$ es lo mismo que elegir $i+1$ jugadores fuera de $2^n- 2$ jugadores. Entonces, $$ \begin {align*} P(E)&= \sum_{i=0}^{n-1} P(E|A_i)P(A_i)\tag{because $ A_i $'s are disjoint}\\ &= \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{\binom{2^n-2}{i+1} }{\binom{2^n-1}{i+1}}\times \left(\frac{1}{2} \right)^i\\ &=\sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2^n-2-i}{2^n-1} \times \left(\frac{1}{2} \right)^i\\ &=\dfrac{2^n-2}{2^n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left (\dfrac{1}{2} \right)^i-\frac{1}{2(2^n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}i \left(\frac{1}{2} \right)^{i-1} \end{align*} $$
Cuando simplifico esta expresión, no se acerca ni remotamente a $1- \dfrac{1}{2^{n-1}}$ que es la respuesta. ¿En qué me equivoco?
