He estado usando el libro de Steven R. Lay, Análisis con introducción a la prueba como un autoestudio para el análisis real. Creía haber entendido las definiciones de vecindad (que contiene su centro), vecindad borrada, y luego el cambio de Lay hacia una vecindad arbitraria (la vecindad puede ser una que contenga su centro como uno de sus miembros o no), pero basándome en el siguiente extracto y en un problema en el que estoy atascado, no estoy seguro de si entiendo estos conceptos tan bien como pensaba inicialmente.
Tras definir las ideas de un barrio $N(x;\epsilon) = (x-\epsilon,x+\epsilon)$ y un barrio borrado $N^*(x;\epsilon) = N(x;\epsilon)-\{x\}$ escribe
Si por cada barrio $N$ de $x$ , $N\cap S \neq \varnothing$ y $N \cap (\mathbb{R}-S) \neq \varnothing$ entonces $x$ se llama punto límite de $S$ [, donde $S \subseteq \mathbb{R}$ ].
los paréntesis son míos
Esta es la primera vez que menciona un barrio arbitrario $N$ y siempre pensé que $N$ puede ser $N(x;\epsilon)$ o $N^*(x;\epsilon)$ . Por lo tanto, una declaración relativa a cada barrio, en mi opinión, pertenecería tanto a $N(x;\epsilon)$ y $N^*(x;\epsilon)$ como la definición de un punto límite.
Por lo tanto, ¿es posible que mi comprensión no sea correcta? Es decir, por ejemplo, ¿podría un punto $x$ es un punto límite si un $N(x;\epsilon)$ satisface la definición de punto límite, pero para algunos $\delta > 0$ el barrio eliminado $N^*(x;\delta)$ ¿no? Otro ejemplo podría ser si $x$ es un punto aislado, entonces $x$ es un punto límite, porque cada $N(x;\epsilon)$ satisface la definición, mientras que hay algunos barrios eliminados que no lo hacen. O si una afirmación incluye todos los barrios, en realidad significa cada ¿vecindario?
