Si $1-a$ y $1-b$ son nilpotentes, entonces demuestre que $1-ab$ es nilpotente.

Question

Demuestra que $1-ab$ es nilpotente. He intentado resolver este problema. Me pregunto si lo he hecho bien. ¿Parece correcto?

Answer 1

Prueba alternativa: En un anillo conmutativo el subconjunto de elementos nilpotentes es el llamado nilradical $N(R)$ y es la intersección de todos los ideales primos, es decir $$N(R) = \bigcap_{\mathbb{q} \ \text{prime ideal}}\mathbb{q}$$ Por lo tanto, $N(R)$ como la intersección de ideales, es un ideal. Como has notado, $1-ab = 1-a + a(1-b)$ pero $$1-a \in N(R)$$ $$1-b \N en N(R)$$ and so $$1-ab \Nen N(R)$$ This implies that $1-ab$ es nilpotente.