Aproximación numérica de una ecuación diferencial

Question

Tengo la ecuación diferencial que modela la velocidad de un objeto que cae: $$ \frac{dv}{dt}= \frac{c}{m}v^2 - g $$

Dónde:

• c= coeficiente de arrastre = constante
• m = masa
• g = aceleración debida a la gravedad

El propósito del problema es aproximar esto usando el hecho: $$ \frac{dv}{dt} \approx \frac{v(x_i) - v(x_{i-1})}{\Delta x} $$

Sustituyendo esto en el problema original obtengo:

$$\frac{v(x_i) - v(x_{i-1})}{\Delta x} = \frac{c}{m} v(x_i)^2 - g $$

Entonces reordeno la fórmula para $v(x_i)$ y completar el cuadrado para obtener:

$$ v(x_i) = \sqrt{ \frac{m^2}{4 \cdot c \cdot \Delta x} + \frac{g \cdot m}{c} - \frac{v(x_{i-1}) \cdot m} {2\cdot c \cdot \Delta x} } + \frac{m}{2 \cdot c \cdot h}$$

Ahora estoy tratando de automatizar esto en excel usando las siguientes constantes:

• $\Delta x = 1$
• c= 0.125
• m= 100.19
• g= 9.81
• Condición inicial: $v(0)=0$

Sin embargo, después de calcular v(1) = 811,25 ( que ya es erróneo comparado con un valor verdadero de alrededor de 9 ) , los términos bajo la raíz cuadrada siempre se evalúan a un valor negativo.

¿Qué podría haber hecho mal aquí?

Editar: Como tengo una cuadrática en v, he utilizado la fórmula cuadrática para resolverla y he obtenido: $$v(x_i) = \frac{ \frac{1}{\Delta x} \pm \sqrt{\frac{1}{\Delta x}^2 - 4(c/m)(v(x_{i-1}) -g)}} {2\cdot c/m } $$

Que sigue sin funcionar para valores pequeños de $\Delta x$ .

Se agradece cualquier consejo o ayuda.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

$$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=\frac{c}{m}v(t)^2-g\Longleftrightarrow$$ $$v'(t)=\frac{cv(t)^2}{m}-g\Longleftrightarrow$$ $$\frac{v'(t)}{\frac{cv(t)^2}{m}-g}=1\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{v'(t)}{\frac{cv(t)^2}{m}-g}\space\text{d}t=\int1\space\text{d}t\Longleftrightarrow$$ $$\int\frac{v'(t)}{\frac{cv(t)^2}{m}-g}\space\text{d}t=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$

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Sustituir $u=v(t)$ y $\text{d}u=v'(t)\space\text{d}t$ :

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$$\int\frac{1}{\frac{cu^2}{m}-g}\space\text{d}u=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$ $$\int-\frac{1}{g\left(1-\frac{cu^2}{gm}\right)}\space\text{d}u=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$ $$-\frac{1}{g}\int\frac{1}{1-\frac{cu^2}{gm}}\space\text{d}u=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$

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Sustituir $s=\frac{u\sqrt{c}}{\sqrt{gm}}$ y $\text{d}s=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{gm}}\space\text{d}u$ :

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$$-\sqrt{\frac{m}{cg}}\int\frac{1}{1-s^2}\space\text{d}s=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$ $$-\sqrt{\frac{m}{cg}}\text{arctanh}(s)=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$ $$-\frac{\sqrt{m}\text{arctanh}\left(\frac{v(t)\sqrt{c}}{\sqrt{g}\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{c}\sqrt{g}}=t+\text{k}\Longleftrightarrow$$ $$v(t)=\frac{\sqrt{gm}\tanh\left(\frac{\text{k}-t\sqrt{cg}}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{c}}$$

Con la condición de que $v(0)=0$ encontramos $v(t)$ :

$$v(t)=-\frac{\sqrt{gm}\tanh\left(\frac{t\sqrt{cg}}{\sqrt{m}}\right)}{\sqrt{c}}$$