La estructura de ciclo de una permutación $\sigma \in S_n$ surge de forma natural si consideramos la acción de $\langle \sigma \rangle$ como un grupo de permutaciones sobre el conjunto $I_n:=\{1,\dots,n\}$ ("acción natural"). Por el Teroema de la Órbita-Estabilizador (T.O.E.), obtenemos:
$$|O_\sigma(j)||\operatorname{Stab}_\sigma(j)|=o(\sigma), \forall j\in I_n \tag 1$$
donde:
$$\operatorname{Stab}_\sigma(j):=\{\sigma^k\mid \sigma^k(j)=j\} \le \langle\sigma\rangle, \forall j\in I_n \tag 2$$
Ahora, teniendo en cuenta $\alpha \in S_n$ Es decir, es $(\alpha\sigma\alpha^{-1})^k=\alpha\sigma^k\alpha^{-1}$ (inducción sobre $k$ ), por lo que obtenemos:
\begin{alignat}{1} \operatorname{Stab}_{\alpha\sigma\alpha^{-1}}(j)&=\{\alpha\sigma^k\alpha^{-1}\mid (\alpha\sigma^k\alpha^{-1})(j)=j\} \\ &=\{\alpha\sigma^k\alpha^{-1}\mid \alpha(\sigma^k(\alpha^{-1}(j)))=j\} \\ &=\{\alpha\sigma^k\alpha^{-1}\mid \sigma^k(\alpha^{-1}(j))=\alpha^{-1}(j)\} \\ &=\{\alpha\sigma^k\alpha^{-1}\mid \sigma^k \in \operatorname{Stab}_\sigma(\alpha^{-1}(j))\} \\ &=\alpha \operatorname{Stab}_\sigma(\alpha^{-1}(j)) \alpha^{-1}, \forall \alpha \in S_n,\forall j\in I_n\\ \tag 3 \end{alignat}
de donde:
$$|\operatorname{Stab}_{\alpha\sigma\alpha^{-1}}(j)|=|\operatorname{Stab}_\sigma(\alpha^{-1}(j))|, \forall \alpha \in S_n,\forall j\in I_n \tag 4$$
Pero como $\forall \alpha \in S_n, o(\alpha\sigma\alpha^{-1})=o(\sigma)$ , $(4)$ implica (de nuevo por la O.S.T.):
$$|O_\sigma(\alpha^{-1}(j))|=|O_{\alpha\sigma\alpha^{-1}}(j)|, \forall \alpha \in S_n, \forall j\in I_n \tag 5$$
Por lo tanto, para cada $\alpha \in S_n$ las órbitas inducidas por $\langle \alpha\sigma\alpha^{-1}\rangle$ y $\langle \sigma\rangle$ son de igual tamaño por parejas. Además, si denotamos por $\mathcal{O}$ el conjunto de órbitas, tenemos:
\begin{alignat}{1} |\mathcal{O}_{\alpha\sigma\alpha^{-1}}| &= \frac{1}{o(\alpha\sigma\alpha^{-1})}\sum_{j=1}^{n}|\operatorname{Stab}_{\alpha\sigma\alpha^{-1}}(j)| \\ &=\frac{1}{o(\sigma)}\sum_{j=1}^{n}|\operatorname{Stab}_\sigma(\alpha^{-1}(j))| \\ &=\frac{1}{o(\sigma)}\sum_{i=1}^{n}|\operatorname{Stab}_\sigma(i)| \\ &=|\mathcal{O}_\sigma| \\ \tag 6 \end{alignat}
Así, por cada $\alpha \in S_n$ las acciones naturales de $\langle\sigma\rangle$ y $\langle\alpha\sigma\alpha^{-1}\rangle$ inducen el mismo número de órbitas del mismo tamaño por parejas, a saber $\sigma$ y $\alpha\sigma\alpha^{-1}$ tienen la misma estructura de ciclo.
Me gustaría probar en este marco la implicación inversa (si dos permutaciones tienen la misma estructura de ciclo, entonces son conjugadas), pero me resulta más difícil. ¿Podrías darme alguna pista, por favor?
