Supongamos que $V$ es una isometría y $X$ cualquier operador en un espacio de Hilbert $H$. Deje $X=U|X|$ ser la descomposición polar para $X$.
Si $VX=XV$, puedo concluir que $VU=UV$?
Respuesta
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Edit: No, no se sostiene en general. Por alguna razón siempre he tendido a utilizar ese $V$ conmutan $X^*$, que en general no tiene que ser cierto. Un contraejemplo: Deje $\mathcal{H}=\ell^2(\mathbb{N})$. Deje $V$ ser el derecho a cambiar de $\mathcal{H}$, es decir, $V\delta_n=\delta_{n+1}$ donde $\delta_n(m)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if }n=m\\0 & \mbox{if }n \neq m\end{matrix}\right.$. Deje $X=2+V$ (por lo $X\delta_n=2\delta_n+\delta_{n+1}$), a continuación,$XV=VX$. Sin embargo, se puede comprobar que $X^*V \neq VX^*$. Ahora $X$ es invertible, por lo $U$ es unitaria. Pero, a continuación,$UV=VU \Leftrightarrow X^*V=VX^*$, lo cual es falso.
Por lo que sólo se mantiene si $V$ viajes con $X^*$: Deje $\mathcal{X}$ ser la de von Neumann álgebra generada por $X$. Uno puede mostrar que en este caso $U\in \mathcal{X}$. Como claramente $V$ es un elemento de la commutant de $\mathcal{X}$$U \in \mathcal{X}$, nos encontramos con que $VU=UV$. Así que no creo que necesite el hecho de que $V$ es una isometría...
