¿Cuándo una función real es ortogonal a su derivada?

Question

He visto esta prueba de que una función $f$ es ortogonal a su derivada $f'$ :

$$ \int_{-\infty}^\infty f(t)f'(t)dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\Omega) (-j\Omega) F^*(\Omega) d\Omega = -\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty j\Omega |F(\Omega)|^2 d\Omega = 0 $$

donde $F(\Omega)$ denota la transformada de Fourier de $f(t)$ .

Está claro que esto no es cierto para todas las funciones, por ejemplo $f(t) = \max(0,t)$ . ¿Podría alguien ayudarme a averiguar qué supuestos se han dado? El texto original era no era más específico que esto.

Answer 1

Además de las suposiciones de que la integral incluso tiene sentido, este resultado particular se basa en la suposición es que $f(t)^2$ se define en $t = \pm\infty$ y que los dos valores límite (a $t = \infty$ y $t = -\infty$ ) son iguales. $$ \int_{-\infty}^\infty f(t)f^\prime(t)dt = \tfrac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \tfrac{d}{dt}f(t)^2 dt = \tfrac{1}{2}f(t)^2|_{-\infty}^\infty $$