¿Cuáles son algunos de los polinomios de alto grado que aparecen de forma natural?

Question

Para construir la obra de J. H. Conway secuencia de mirar y decir Comienza poniendo un 1 como primera entrada. Las demás entradas se encuentran diciendo la entrada anterior en voz alta, y escribiendo lo que se oye.

1
11
21
1211
111221
312211  (previous entry was three 1's, two 2's and one 1)
...

Conway ofrece su habitual análisis fantástico en La extraña y maravillosa química de la descomposición audioactiva [Eureka 46, 5-18], donde demuestra varias propiedades de otro mundo de esta secuencia. Una de ellas era la siguiente: la relación de las longitudes de las entradas consecutivas tiene un límite, $\lambda$ . Además, $\lambda$ es la raíz de un polinomio de grado 71.

Ahora, cuando estaba en la escuela secundaria nos enseñaron la fórmula cuadrática y nos dijeron que había es una fórmula cúbica, pero no tienes que aprenderla. ¿Por qué? "No la necesitarás". Y la mayoría de las veces he comprobado que eso es cierto. ¿Me equivoco, o los polinomios de alto grado rara vez aparecen (en entornos no forzados)?

¿Cuáles son otros ejemplos de raíces útiles de polinomios de alto grado? Las series de potencias y similares pueden producir, obviamente, polinomios útiles de grado arbitrariamente grande, pero estoy buscando sorpresas como el polinomio de grado 71 que está en el centro de la secuencia de mirar y decir de arriba.

Answer 1

De Fernando Rodríguez-Villegas preimpresión :

"Chebyshev en su trabajo sobre la distribución de los números primos utilizó el siguiente hecho $$ u_n:=\frac{(30n)!n!}{(15n)!(10n)!(6n)!}\in\mathbb Z, \qquad n = 0, 1, 2, \dots $$ (véase también mi pregunta -- WZ). Esto no es inmediatamente evidente (por ejemplo, este cociente de factoriales no es un producto de coeficientes multinominales) pero no es difícil de demostrar. La única prueba que conozco consiste en comprobar que las valoraciones $v_p(u_n)$ son no negativos para cada primo $p$ una interpretación de $u_n$ como contar objetos naturales o ser dimensiones de espacios vectoriales naturales no está nada claro.

Resulta que la función generadora $$ u(\lambda):=\sum_{n=0}^\infty u_n\lambda^n $$ es algebraico sobre $\mathbb Q(\lambda)$ es decir, existe un polinomio $F\in\mathbb Q[x,y]$ tal que $$ F(\lambda,u(\lambda))=0. $$ Sin embargo, no es probable que veamos este polinomio de forma explícita en un futuro próximo, ya que su grado es $483,840$ (!)"

Answer 2

Algunos polinomios de alto grado se han descubierto utilizando algoritmos de relación de enteros aplicados a las potencias de constantes interesantes. He aquí una cita de la sección 3 de un artículo de David Bailey, que puede encontrarse aquí: http://www.nersc.gov/homes/dhbailey/dhbpapers/pslq-cse.pdf

"Uno de los primeros resultados de este tipo fue la identificación de la constante B3 = 3.54409035955 - - - [1]. B3 es el tercer punto de bifurcación del mapa logístico $x_{k+1} = rx_k(1 − x_k )$ que muestra la duplicación del período poco antes del inicio del caos. Para ser B3 es el valor más pequeño del parámetro r para que los iterados sucesivos $x_k$ presentan una periodicidad de ocho en lugar de cuatro. Los cálculos realizados con un algoritmo predecesor de PSLQ descubrieron que B3 es una raíz del polinomio

$$0 = 4913 + 2108t^2 − 604t^3 − 977t^4 + 8t^5 + 44t^6 + 392t^7 − 193t^8 − 40t^9 + 48t^{10} − 12t^{11} + t^{12}$$

O, si $x=-t(t - 2)$ ,

$$0 = 4913 + 527 x^2 - 188 x^3 + 47 x^4 - 12 x^5 + x^6$$

que es un sextil con un grupo de Galois no resoluble. Recientemente, B4 = 3,564407268705 - - -, el cuarto punto de bifurcación del mapa logístico fue identificado usando PSLQ por el físico británico David Broadhurst [5]. Algunas conjeturas que B4 podría satisfacer un polinomio de 240 grados, y algunos análisis análisis sugirieron que la constante $α = −B4 (B4 − 2)$ podría satisfacer un grado de 120 polinomio de 120 grados.

Para probar esta hipótesis, Broadhurst aplicó un programa PSLQ a la 121-largo vector $(1, α, α^2 , · · · , α^{120})$ . Efectivamente, se encontró una relación, aunque se requirió una aritmética de 10.000 dígitos. Los coefficientes enteros recuperados descienden monotónicamente de $257^{30} ≈ 1.986 × 10^{72}$ a uno".

Answer 3

Si aceptas polinomios en más de una variable...

Hay un polinomio desigualdad en 26 variables que describe el conjunto de primos:

(fuente: Wikipedia ). Por un resultado de Matiyasevich existe otra desigualdad polinómica en 10 variables que también describe los primos, pero cuyo orden es aproximadamente $10^{45}$ que empequeñece Respuesta de Wadim . En la otra dirección hay una desigualdad polinómica de orden 4 que hará el trabajo, pero en 58 variables.

Answer 4

El polinomio de alto grado $x^{65537}-1$ es interesante porque sus raíces no triviales pueden expresarse en términos de raíces cuadradas, y por tanto (en principio) el gon regular 65537 es construible con regla y compás. Es el mayor constructible conocido $n$ -gon con un número primo de lados. Las raíces, sin embargo, ocupan varios megabytes cuando se escriben en su totalidad.

Answer 5

Hace poco me sorprendió una respuesta a esta pregunta .

Encontré otro hecho curioso al trabajar con funciones hipergeométricas. El siguiente valor absoluto de una función de valor complejo $_4F_3$ función: $$\left|_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};\sqrt{\phi }\right)\right|$$ donde $\phi$ es la proporción áurea, es en realidad un número algebraico con el polinomio mínimo de grado 80 y un coeficiente superior a $10^{55}$ (ver su forma explícita aquí ). No estoy seguro de que la raíz sea expresable en radicales.