Tengo un camino cerrado en un colector liso y compacto $C \subset M$ que se compone de piezas rectas, por lo que $C = \alpha \circ \beta \circ ... \circ \delta$ , donde $\circ$ es la concatenación, y $\alpha = tx + (1-t)y$ , $\beta = ty+(1-t)z ,...$ para algunos $x,y,z,... \in M$ y $t \in [0,1]$ . ¿Cómo puedo cambiar este camino para hacerlo diferenciable, suponiendo que no tengo ninguna auto-intersección? Puedo elegir una pequeña vecindad de cada uno de estos $x,y,z,...$ donde puedo hacer lo que quiera, para que sea diferenciable, y no cambie la homotopía. pero ¿cómo lo cambio exactamente, para que sea diferenciable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En mi respuesta voy a utilizar $*$ como operador de concatenación, ya que debo utilizar $\circ$ en su función habitual de operador de composición.
Puedes reparametrizar cada una de las rutas $\alpha,\beta,\ldots,\delta : [0,1] \to C$ precomponiendo cada una con un homeomorfismo $f : [0,1] \to [0,1]$ cuya derivada $f'(t)$ es continua y tal que $f'(0)=f'(1)=0$ . Las trayectorias compuestas resultantes $\alpha \circ f,$ $\beta \circ f,$ ..., $\delta \circ f$ son puntos finales relacionales homotópicos a $\alpha,\beta,\ldots,\delta$ respectivamente, porque $f$ es homotópica a los puntos finales de la identidad rel. La concatenación resultante $(\alpha\circ f) * (\beta\circ f) * \cdots * (\delta \circ f)$ es continuamente diferenciable, y es homotópica rel puntos finales a la trayectoria original $\alpha * \beta * \cdots * \delta$ .
Rectitud de las piezas $\alpha,\beta,\ldots,\delta$ no es necesario para este argumento, y podría ser imposible de conseguir para una variedad compacta suave general $C \subset M$ . Afortunadamente, este mismo argumento funciona siempre que cada uno de $\alpha,\beta,\ldots,\delta$ es continuamente diferenciable.
Además, la suposición de que no hay auto-intersecciones no es necesaria para este argumento, funciona independientemente de si $\alpha \circ \beta \circ \cdots \circ \delta$ tiene auto-intersecciones.
