Implicación de $f(t)\le2e^{5t},t\in[0,\infty)$

Question

Dejemos que $f:[0,\infty)\to \mathbb R$ ser un $C^1$ -función que cumple: $$f'(t)\le 5f(t),\ t\in[0,\infty), \ and \ \ f(0)=2 $$ Demostrar que $f(t)\le2e^{5t},t\in[0,\infty)$ . ¿Puede alguien darme algunos consejos, por favor?

Answer 1

Por la regla del producto tenemos $(e^{-5t} f(t))'=e^{-5t} (f'(t)-5f(t)) \leq 0$ así que $e^{-5t} f(t)$ es decreciente. Esto da $e^{-5t} f(t) \leq e^{-(5)(0)}f(0)=2$ . Mutiply por $e^{5t}$ para terminar la prueba.

Answer 2

Dejemos que $f$ ser un $\mathcal{C}^1$ función en $\mathbb{R}_+$ tal que $ \forall t\geqslant 0,~f'(t) \leqslant 5f(t)$ y $f(0)=2$ . Obsérvese que \begin{align} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(f(t)e^{-5t} \right) = \left(f'(t)-5f(t)\right)e^{-5t} \leqslant 0 \end{align} por suposiciones, de modo que $f(t)e^{-5t}$ es no creciente. Por lo tanto, su valor es menor que $f(0) e^{-0}=2$ y $f(t)e^{-5t}\leqslant 2$ .

Answer 3

Dejemos que $g(t)=e^{-5t}f(t).$ Demuestra que $g'(t) \le 0$ para $t \ge 0$ . Por lo tanto, $g$ es decreciente. Así,

$$g(t) \le 2$$

para todos $t \ge 0.$