Si dibujamos una trayectoria de hélice cerrada en la superficie de un toro (con el eje central de la hélice correspondiente al del toro), el radio cambiará cíclicamente entre el radio interior y el exterior (r y R). ¿Puede alguien indicarme una función que describa la dependencia entre la posición en la trayectoria y el radio de la hélice en ese punto?
Respuesta
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La parametrización habitual de un toro con radio interior $r$ y el radio exterior $R$ es a través de la latitud $\phi$ y la longitud $\theta$ :
$$ \left\{ \begin{array}{l} x(\phi, \theta) := \left(\frac{R + r}{2} + \frac{R-r}{2}\cos \phi \right) \cos \theta \\ y(\phi, \theta) := \left(\frac{R + r}{2} + \frac{R-r}{2}\cos \phi \right) \sin \theta \\ z(\phi, \theta) := \frac{R-r}{2} \sin \phi \\ \end{array} \right. , $$
y se puede producir una hélice del tipo que describes componiendo este mapa con una línea recta a través del espacio de los parámetros, digamos, $\gamma(t) = (\alpha t, \beta t)$ , dando la curva
$$ \left\{ \begin{array}{l} x(t) := \left(\frac{R + r}{2} + \frac{R-r}{2}\cos \alpha t \right) \cos \beta t \\ y(t) := \left(\frac{R + r}{2} + \frac{R-r}{2}\cos \alpha t \right) \sin \beta t\\ z(t) := \frac{R-r}{2} \sin \alpha t \\ \end{array} \right. . $$
Aquí, la magnitud de la relación $\lambda := \beta / \alpha$ es el número de veces que la curva envuelve el toro la dirección longitudinal por cada vez que envuelve la dirección latitudinal, y el signo de la relación controla si la hélice viaja en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. La curva se cerrará sobre sí misma si $\lambda$ es racional (o si $\alpha$ es cero, en cuyo caso, como cuando $\beta = 0$ La curva es sólo un círculo, que podemos considerar como un toro degenerado).
En la curva de su ilustración, $r$ parece ser $0$ Llamamos a esta forma un toro de cuerno y en este caso las expresiones anteriores se simplifican un poco. Aquí hay un gráfico de la curva con $R = 2, r = 0, \lambda = -12$ que se aproxima razonablemente bien a la ilustración:
