Cómo probar Halmos la Desigualdad

Question

Cómo probar Halmos la Desigualdad?

Si $A$ $B$ están delimitadas operadores lineales en un espacio de Hilbert tal que $A$ o $B$, conmuta con $AB-BA$ $$\|I-(AB- BA)\|\ge 1.$$

Me pareció de http://www.staff.vu.edu.au/rgmia/monographs/bullen/Dict-Ineq-Supp-Comb.pdf en la página 18.

Answer 1

Hay varias pruebas y la desigualdad se da como problema 233 en Halmos es Un Espacio de Hilbert Problema del Libro. La desigualdad fue originalmente demostrado en P. R. Halmos, los Conmutadores de los Operadores, II, American Journal of Mathematics Vol. 76, Nº 1 (Ene., 1954), pp 191-198.

El siguiente muy agradable la prueba está dada por Felipe Maher en Un corto colector de prueba, Revista Internacional de Ciencias y Matemáticas de la Educación 27 (6) (1996), 934-935. Si usted tiene acceso, se encuentra en línea aquí.

Supongamos $\|I-(AB-BA)\| \lt 1$. A continuación, $(AB-BA)$ es invertible y como (sin pérdida de generalidad) $A$ viajes con $(AB-BA)$ por hipótesis, tenemos que $A$ viajes con $(AB-BA)^{-1}$. Por lo tanto $$I = (AB-BA)(AB-BA)^{-1} = A[B(AB-BA)^{-1}] - [B(AB-BA)^{-1}]A$$ y por lo tanto $I$ es presentada como un conmutador, y esto es bien conocido por ser imposible por un teorema de Wielandt y Wintner; ver, por ejemplo, Qiaochu la pregunta aquí para una prueba de ese hecho. Por lo tanto,$\|I-(AB-BA)\| \geq 1$.

Tenga en cuenta que esta prueba no tiene nada que ver con operadores acotados en un espacio de Hilbert. Funciona igual de bien en cualquier álgebra de Banach.