¿Cuándo dejar de buscar soluciones de forma cerrada?

Question

Tengo la siguiente ecuación simplificada a partir de otra ecuación relativamente larga. $$ xe^{-x}= c (\frac{x}{c})^{-x} $$ Aquí la función W de Lambert no ayuda ya que se sigue obteniendo $x$ dentro del Lambert W.

Sé que puedo utilizar métodos numéricos para encontrar la(s) intercepción(es) de estas dos líneas. Pero en general, me pregunto en qué momento podemos darnos cuenta de que no hay esperanza de encontrar la solución de forma cerrada y debemos dejar de buscarla.

Answer 1

Supongamos que ambos $x$ y $c$ son positivos. Así que, como comentó @user619894 $$x^{1+x}e^{-x}=c^{1+x} \quad \implies \quad c=x \,e^{-\frac{x}{x+1}}\tag 1$$

$$\frac{x}{x+1}=y\quad \implies \quad c=\frac{e^{-y} \,y}{1-y}\quad \implies \quad \color{red}{e^{-y}=c \,\frac {1-y}y}$$ que tiene una solución explícita en términos de la función de Lambert generalizada (ver la ecuación $(4)$ ).

Dicho esto, si se trata de haber obtenido una expresión de forma cerrada, desde un punto de vista práctico, no es muy útil. Sin embargo, si consideramos el caso de grandes valores de $x$ y $c$ podemos escribir

$$x \,e^{-\frac{x}{x+1}}=\frac 1e \Big[x+1+\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{(n+1)! \,x^n}\Big]$$ La secuencia de la forma del coeficiente $A111884$ en $OEIS$ .

Truncado en algún orden y utilizando la reversión de la serie (con $t=e\,c$ ) $$x=t-1+\frac{1}{2 t}+\frac{1}{3 t^2}-\frac{1}{8 t^3}-\frac{7}{15 t^4}-\frac{31}{144 t^5}+\frac{19}{35 t^6}+\frac{4927}{5760 t^7}-\frac{563}{2835 t^8}+O\left(\frac{1}{t^9}\right)$$

Utilizando los términos anteriores para $c=10$ da la estimación $x=\color{red}{26.20165628306}409$ a comparar con la solución obtenida por el método de Newton es $x=\color{red}{26.20165628306386}$

Incluso para $c=1$ la serie truncada anterior da $x=1.93317$ para ser comparado con la solución $x=1.93295$ .

Reinyectando esta expresión en $(1)$ la diferencia entre lhs y rhs es $\frac{81479}{44800 e^{10} c^9} \sim \frac{8.25\times 10^{-5} } {c^9}$

Answer 2

Tienes que decidir por qué prefieres una solución de forma cerrada. A veces basta con dar un nombre a tu solución y decir que entonces es de forma cerrada. Pero si quieres calcular con tus soluciones de forma cerrada o quieres compararlas, necesitas los métodos de cálculo en tu conjunto de funciones/números de forma cerrada.
Encontrar una solución en forma cerrada significa que se obtienen pistas sobre las presentaciones de las series, las reglas de cálculo, las propiedades, etc.

Tienes que decidir qué tipos de constantes, operaciones/funciones y variables quieres aceptar para que te permitan llamarlo en forma cerrada . Las clases simples de expresiones, por ejemplo, son las expresiones radicales (expresiones algebraicas explícitas) o funciones elementales .
Otras clases de funciones podrían ser, por ejemplo, el funciones algebraicas , Lambert W, generalizaciones de Lambert W (por ejemplo, como sugiere la respuesta anterior), funciones estándar especiales, funciones hipergeométricas, funciones hipergeométricas generalizadas.

Puede decidir parar si ha comprobado todas las clases de funciones conocidas.