Demostrar una regla de divisibilidad particular para 7

Question

Me encontré con esta regla de divisibilidad por 7:

Sea N un número entero positivo. Divida N en una colección de números de 3 dígitos de la derecha (d3d2d1, d6d5d4, ...).

N es divisible por 7 si, y sólo si, la suma alterna S = d3d2d1 - d6d5d4 + d9d8d7 - ... es divisible por 7.

Estoy tratando de probar esta regla. Aunque estoy seguro de que se puede hacer utilizando la aritmética modular, no he llegado a nada útil. He buscado una prueba y no he encontrado ninguna. Cualquier idea o pista será apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Esto se debe a que $10^3\equiv -1 \pmod 7$ . Observa que lo que estamos haciendo al cortar la expansión decimal de un número $n$ como que está diciendo que, donde $a_0$ son los tres primeros dígitos, $a_1$ es el siguiente, y así sucesivamente: $$n= a_0+10^3a_1+(10^3)^2a_2+(10^3)^3a_3+\ldots$$ pero, mirando este mod $7$ da $$n\equiv a_0+(-1)a_1 + (-1)^2 a_2 + (-1)^3 a_3+\ldots\pmod 7$$ Así que, de hecho, la suma alternada es congruente con el número original mod $7$ .

Answer 2

$$N = \sum_{i=0} A_i 1000^i$$

$$D = \sum_{i=0} A_i (-1)^i$$

Queremos demostrar $N \equiv 0 \pmod 7 \iff D \equiv 0 \pmod 7$ pero puedes demostrar la afirmación más fuerte:

$$N \equiv D \pmod {7}$$ por $$\sum_{i=0} A_i 1000^i \equiv \sum_{i=0} A_i (-1)^i \pmod 7$$

y como señala Rory Daulton en los comentarios, $1000 \equiv -1 \pmod 7$ Por tanto, la afirmación anterior es cierta.

Answer 3

Permítame desenrollar el proceso un poco más para usted.

Usted tiene un número decir que se parece a $d_7d_6d_5d_4d_3d_2d_1$ . Podemos reescribir esto como $d_7d_6d_5d_4 \times 1000 + d_3d_2d_1$ . Entonces, porque $1001=7\times 143$ podemos reescribir el $1000$ como $7\times 143-1$ y el número como $d_7d_6d_5d_4 \times (7\times 143-1) + d_3d_2d_1 = d_7d_6d_5d_4 \times 7\times 143 - d_7d_6d_5d_4 + d_3d_2d_1$ .

Ahora sólo nos interesa la divisibilidad por 7, así que podemos ignorar la parte que es múltiplo de siete y sólo probar $ d_3d_2d_1 - d_7d_6d_5d_4 $ . Y ahora podemos aplicar el mismo truco a la última parte, y simplemente probar $ d_3d_2d_1 - (d_6d_5d_4 -d_7) = d_3d_2d_1 - d_6d_5d_4 + d_7$ - según sea necesario.

Tenga en cuenta que $1001 =7\times 11\times 13$ así que puedes aplicar el mismo truco para comprobar la divisibilidad por 13. Para la divisibilidad por 11 se puede utilizar una versión más fuerte de la misma técnica, probando $ d_1 -d_2 + d_3-d_4 + d_5-d_6 + d_7$