Envoltura parabólica de los fuegos artificiales

Question

La envolvente de las trayectorias parabólicas desde un punto de lanzamiento común es en sí misma una parábola. En Estados Unidos, pronto muchos tendrán la oportunidad de observar este hecho directamente, ya que el 4 de julio se celebra tradicionalmente con fuegos artificiales.

Si el punto de lanzamiento es el origen, y la trayectoria parte de un ángulo $\theta$ y la velocidad $v$ , entonces bajo gravedad unitaria se deduce que la parábola $$ y = x \tan \theta - [x^2 /(2 v^2)] (1 + \tan^2 \theta) $$ y la envolvente de todas esas trayectorias, es otra parábola: $$ y = v^2 /2 - x^2 / (2v^2) $$

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Estas ecuaciones no son difíciles de derivar. Tengo dos preguntas. En primer lugar, ¿hay alguna manera de ver que la envolvente de las trayectorias parabólicas es en sí misma una parábola, sin calcular estas ecuaciones? ¿Hay algún argumento puramente geométrico? Tal vez haya una forma de anidar conos y obtener la imagen anterior a través de secciones cónicas, pero no he podido verla.

En segundo lugar, por supuesto que las trayectorias son en realidad trozos de elipses, no parábolas, si seguimos la verdadera ley de la gravedad inversa al cuadrado. ¿La envoltura de estas trayectorias elípticas es también una elipse? (No he intentado calcular las ecuaciones). Tal vez el mismo punto de vista geométrico (si existe) podría aplicarse, por ejemplo, inclinando ligeramente las secciones.

Answer 1

• E. Torricelli, que fue el último secretario de Galileo, sugirió un método puramente geométrico para encontrar la envoltura en su De motu Proiectorum . También acuñó el término "parábola de seguridad". Al parecer, fue el primer ejemplo de cálculo de una envolvente. El método se describe brevemente en esta nota .

• Otro enfoque consiste en lanzar simultáneamente misiles idénticos con la misma velocidad en todos los ángulos posibles. En el momento $t$ sus posiciones describen un círculo $$x^2+\left(y-\frac{t^2}{2}\right)^2=(vt)^2.$$ Esta última ecuación tiene una solución única en $t$ proporcionado $(x,y)$ pertenece a la parábola $$y=\frac{v^2}{2}-\frac{x^2}{2v^2}.$$

• En el caso de los misiles que se mueven en un campo de Kepler (con el potencial atractivo $\sim -1/r$ ), la envolvente de las trayectorias elípticas es efectivamente una elipse. Una búsqueda en la web dio el bonito y corto artículo que contiene varias pruebas geométricas elementales de éste y otros resultados relacionados.

Editar. Una versión gratuita del artículo de J.-M. Richard se puede encontrar ici .

Answer 2

Es fácil ver que todas estas parábolas tienen la misma directriz. La altura de una directriz corresponde a la energía del cuerpo. Así se tiene la familia de parábolas con el punto común $P$ y la directriz $l$ . Es fácil demostrar, (usando simplemente la definición de parábola como lugar de puntos...) que todos los tocados de la parábola con el foco en $P$ y la directriz $l_1$ , que paralelamente $l$ (en realidad $l$ es la línea media de $P$ y $l_1$ ).

Lo mismo ocurre con el conjunto sol-tierra. Si la Tierra decide volar en otra dirección (pero con la misma velocidad) su trayectoria tocará siempre la elipse fija con focos en el Sol y esta posición de la Tierra.

Answer 3

He encontrado otro artículo que complementa a los que ha enlazado Andrey: Eugene I Butikov, " Comentario sobre 'La envoltura de las trayectorias de los proyectiles' ," Eur. J. Phys. 24 L5-L9, 2003. También explica el punto de vista de los círculos en expansión que es la segunda bala de Andrey. Primero imagina que no hay gravedad, en cuyo caso las partículas están en la superficie de una esfera en expansión cuyo radio $r$ es igual a $v t$ . "Con la gravedad, esta esfera que se expande uniformemente está cayendo libremente como un todo con la aceleración de la caída libre". Luego encuentra la envoltura de estos círculos que caen y se expanden.

Más adelante, en la nota, considera que las gotas de agua giran en una rueda de bicicleta mojada. Para seguir con el tema del 4 de julio, podrían ser chispas de una rueda de bengala que gira. Prueba que, de nuevo, la envoltura de las gotas/chispas es una parábola.