Buscando referencias sobre la extensión cero de Sobolev ( $W_0^{1,2}$ ) sobre un dominio compacto en $C^\infty$ Colector riemanniano

Question

Estoy buscando una referencia del conocido hecho debido a P. Jones y A. P. Calderón de que una función de Sobolev $f \in W^{1,2}_0(\Omega),\ \Omega \subset \mathbb{R}^n$ con la condición de contorno de Dirichlet en el dominio $\Omega$ con frontera Lipschitz, admite una extensión nula a toda la $\mathbb{R}^n$ .

¿Tenemos un resultado similar para cualquier dominio compacto con frontera de Lipschitz en una variedad riemanniana $M$ ?

Answer 1

Dado que definimos $W^{1,2}_0(\Omega)$ para ser el cierre de $C^{\infty}_0(\Omega)$ (funciones suaves con soporte compacto en $\Omega$ ), la afirmación se deduce fácilmente ya que $C^{\infty}_0(\Omega)$ puede ampliarse en cero.

Más concretamente, dado $f \in W^{1,2}_0(\Omega),$ dejar $f_n \in C^{\infty}_c(\Omega)$ sea una secuencia tal que $f_n \to f$ en $W^{1,2}(\Omega).$ A continuación, ampliando cada $f_n$ de cero a $M$ da $\tilde f_n \in C^{\infty}_0(M) \subset W^{1,2}(M),$ ya que tenemos $$ \lVert \tilde f_n - \tilde f_m \rVert_{W^{1,2}(M)} = \lVert f_n - f_m \rVert_{W^{1,2}(\Omega)} \to 0$$ como $n, m \to \infty,$ tenemos $(\tilde f_n)$ es Cauchy en $W^{1,2}(M).$ Por lo tanto, por la exhaustividad de $W^{1,2}(M)$ hay un límite único $\tilde f \in W^{1,2}(M).$ Además (por $L^2$ convergencia) pasando a una subsecuencia tal que $\tilde f_{n_k} \to \tilde f$ en casi todas partes, vemos que $\tilde f = f$ casi en todas partes en $\Omega$ y $\tilde f = 0$ casi en todas partes en $M \setminus \Omega,$ así que $\tilde f$ es la extensión cero de $f$ a $M.$

Nótese que esto no hace uso del operador de rastreo, y de hecho se mantiene para cualquier $\Omega \subset M$ abierto.

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Para un dominio Lipschitz acotado $\Omega \subset \Bbb R^n,$ es bien conocido (véase, por ejemplo, el capítulo 6 de Evans, o cualquier texto sobre espacios de Sobolev) que $W^{1,2}_0(\Omega)$ coincide con el espacio de $f \in W^{1,2}(\Omega)$ con un rastro cero. Si utilizamos esto para definir $W^{1,2}_0(\Omega)$ entonces hay que trabajar un poco más; podemos trabajar localmente y reducir al caso plano como se menciona en los comentarios. Nótese que el argumento preciso en este caso dependerá de cómo se defina exactamente $W^{1,2}(M),$ y está estrechamente relacionado con la construcción del operador de traza (que se suele hacer mediante el aplanamiento de la frontera y la aproximación por funciones suaves).